Номер 1.82, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82. Может ли плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды быть равным:

1) $20^\circ$;

2) $30^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $70^\circ$?

Обоснуйте ответ.

Для того чтобы определить, каким может быть плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды, необходимо найти общее ограничение на этот угол. Обозначим искомый угол через $\alpha$.

Пусть боковое ребро пирамиды равно $L$, а сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a$. Боковые грани пирамиды — это равные между собой равнобедренные треугольники с боковыми сторонами $L$ и основанием $a$. Угол при вершине такого треугольника, противолежащий основанию $a$, и есть плоский угол при вершине пирамиды, равный $\alpha$.

В равнобедренной боковой грани, по теореме косинусов, мы имеем: $a^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos\alpha = 2L^2(1 - \cos\alpha)$. Используя формулу $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем $a^2 = 4L^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, откуда, извлекая корень, находим: $a = 2L\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь рассмотрим пирамиду в целом. В основании лежит правильный шестиугольник. Важным свойством правильного шестиугольника является то, что радиус описанной около него окружности ($R$) равен его стороне ($a$). Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания, который также является центром описанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, радиусом описанной окружности основания $R$ и боковым ребром $L$. Боковое ребро $L$ является гипотенузой, а $h$ и $R$ — катетами. По теореме Пифагора: $L^2 = h^2 + R^2$.

Поскольку $R=a$, то $L^2 = h^2 + a^2$. Для существования пирамиды как объемного тела ее высота $h$ должна быть строго больше нуля ($h > 0$), что эквивалентно $h^2 > 0$. Из этого следует, что $L^2 - a^2 > 0$, то есть $L^2 > a^2$. Так как $L$ и $a$ — это длины, они положительны, поэтому $L > a$.

Теперь подставим в неравенство $L > a$ полученное ранее выражение для $a$: $L > 2L\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Так как длина бокового ребра $L > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $L$: $1 > 2\sin(\frac{\alpha}{2})$, или $\sin(\frac{\alpha}{2}) < \frac{1}{2}$.

Поскольку $\alpha$ — это угол в треугольнике, $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, а значит, $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$. В этом диапазоне функция синуса монотонно возрастает. Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, из неравенства $\sin(\frac{\alpha}{2}) < \frac{1}{2}$ следует, что $\frac{\alpha}{2} < 30^\circ$.

Умножив обе части на 2, получаем окончательное условие для плоского угла при вершине правильной шестиугольной пирамиды: $\alpha < 60^\circ$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

Значение $\alpha = 20^\circ$ удовлетворяет условию $\alpha < 60^\circ$, так как $20^\circ < 60^\circ$. Следовательно, такая пирамида существует.

Ответ: да, может.

Значение $\alpha = 30^\circ$ удовлетворяет условию $\alpha < 60^\circ$, так как $30^\circ < 60^\circ$. Следовательно, такая пирамида существует.

Ответ: да, может.

Значение $\alpha = 60^\circ$ не удовлетворяет строгому неравенству $\alpha < 60^\circ$. В этом случае $\sin(\frac{60^\circ}{2}) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, что приводит к $L = a$. Тогда высота пирамиды $h = \sqrt{L^2 - a^2} = 0$. Пирамида вырождается в плоскую фигуру (шестиугольник, покрытый шестью равносторонними треугольниками). Таким образом, объемная пирамида с таким углом не существует.

Ответ: нет, не может.

Значение $\alpha = 70^\circ$ не удовлетворяет условию $\alpha < 60^\circ$, так как $70^\circ > 60^\circ$. В этом случае $\sin(\frac{70^\circ}{2}) = \sin(35^\circ) > \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, что привело бы к условию $L < a$. Высота пирамиды $h = \sqrt{L^2 - a^2}$ оказалась бы мнимой величиной, что невозможно. Следовательно, такая пирамида не существует.

Ответ: нет, не может.