Творческая работа, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Творческая работа

Город Нур-Султан, Дворец мира и согласия — сооружение, которое не только поражает оригинальностью и величием, но и имеет огромное значение для казахстанского народа, символизируя дружбу, единство и мир. Основанием пирамиды является квадрат размером 62×62 м, ее высота также равна 62 м. Найдите площадь ее боковой поверхности (рис. 1.39).

Рис. 1.39

Решение:

Сооружение "Дворец мира и согласия" представляет собой правильную четырехугольную пирамиду, так как ее основанием является квадрат, а высота, согласно условию и рисунку, проецируется в центр основания.

Обозначим пирамиду как HABCD, где ABCD – квадрат в основании, а H – вершина. Из условия задачи известны следующие параметры:

- Сторона основания (квадрата) $a = 62$ м.

- Высота пирамиды $h$, обозначенная на рисунке как HO, равна $62$ м, где O – центр квадрата.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) правильной пирамиды равна сумме площадей четырех одинаковых боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками. Чтобы найти площадь одной такой грани (например, HBC), нужно знать ее основание (BC) и высоту, которая в пирамиде называется апофемой (HK).

1. Найдем длину апофемы.

Апофема $l = HK$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике HOK.

- Катет $HO$ – это высота пирамиды, $HO = h = 62$ м.

- Катет $OK$ – это расстояние от центра квадрата до середины его стороны. Он равен половине стороны квадрата: $OK = \frac{a}{2} = \frac{62}{2} = 31$ м.

По теореме Пифагора: $HK^2 = HO^2 + OK^2$.

$l^2 = 62^2 + 31^2 = 3844 + 961 = 4805$.

$l = \sqrt{4805}$. Чтобы упростить корень, заметим, что $4805 = 5 \cdot 961 = 5 \cdot 31^2$.

Следовательно, апофема $l = \sqrt{5 \cdot 31^2} = 31\sqrt{5}$ м.

2. Найдем площадь одной боковой грани.

Площадь треугольника HBC равна:

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot HK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l$.

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 62 \cdot 31\sqrt{5} = 31 \cdot 31\sqrt{5} = 961\sqrt{5}$ м$^2$.

3. Найдем площадь всей боковой поверхности.

Так как у пирамиды четыре одинаковые боковые грани, общая площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 961\sqrt{5} = 3844\sqrt{5}$ м$^2$.

Ответ: $3844\sqrt{5}$ м$^2$.