Номер 1.71, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция. Боковые стороны трапеции равны 13 см, а основания – 11 см и 21 см. Площадь диагонального сечения призмы равна 180 см². Найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания. Для решения задачи выполним следующие шаги.

1. Нахождение площади основания призмы ($S_{осн}$)

Основанием является равнобокая трапеция, у которой основания равны $a = 21$ см и $b = 11$ см, а боковые стороны $c = 13$ см. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр}$, где $h_{тр}$ — высота трапеции.

Чтобы найти высоту, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Высота отсечет от большего основания отрезок $x$. В равнобокой трапеции длина этого отрезка равна полуразности оснований: $x = \frac{a-b}{2} = \frac{21-11}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком $x$ (другой катет). По теореме Пифагора найдем высоту $h_{тр}$: $h_{тр}^2 = c^2 - x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h_{тр} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь основания призмы (трапеции): $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр} = \frac{21+11}{2} \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192$ см².

2. Нахождение высоты призмы ($H_{пр}$)

Диагональное сечение прямой призмы является прямоугольником. Его стороны — это диагональ основания $d_{тр}$ и высота призмы $H_{пр}$. Площадь этого сечения, по условию, равна $S_{сеч} = 180$ см². Таким образом, $S_{сеч} = d_{тр} \cdot H_{пр}$.

Сначала найдем длину диагонали трапеции $d_{тр}$. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота трапеции $h_{тр} = 12$ см и отрезок на большем основании, равный $a-x = 21-5=16$ см.

По теореме Пифагора: $d_{тр}^2 = h_{тр}^2 + (a-x)^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$d_{тр} = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь из формулы площади диагонального сечения найдем высоту призмы $H_{пр}$: $H_{пр} = \frac{S_{сеч}}{d_{тр}} = \frac{180}{20} = 9$ см.

3. Нахождение площади полной поверхности призмы ($S_{полн}$)

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H_{пр}$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Вычислим периметр трапеции: $P_{осн} = a + b + 2c = 21 + 11 + 2 \cdot 13 = 32 + 26 = 58$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H_{пр} = 58 \cdot 9 = 522$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности, сложив площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 522 + 2 \cdot 192 = 522 + 384 = 906$ см².

Ответ: $906$ см².