Номер 1.76, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.76. Если диагональ прямоугольного параллелепипеда с гранями, имеющими с ней общую вершину, образует углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то выполняется равенство

$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = 1.$

Докажите.

Докажите.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями (длинами ребер, выходящих из одной вершины) $a$, $b$ и $c$.

Квадрат длины диагонали $d$ такого параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Пусть диагональ выходит из вершины, в которой сходятся ребра $a$, $b$ и $c$. Грани, имеющие с диагональю общую вершину, это грани с ребрами $(a, b)$, $(a, c)$ и $(b, c)$.

Угол между прямой (диагональю) и плоскостью (гранью) — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Синус этого угла можно найти как отношение длины перпендикуляра, опущенного из конца диагонали на грань, к длине самой диагонали.

1. Пусть $\alpha$ — угол между диагональю и гранью с ребрами $b$ и $c$ (грань в плоскости YZ, если поместить вершину в начало координат). Длина перпендикуляра, опущенного из конца диагонали на эту грань, равна измерению $a$.

Следовательно, $sin(\alpha) = \frac{a}{d}$.

2. Пусть $\beta$ — угол между диагональю и гранью с ребрами $a$ и $c$ (грань в плоскости XZ). Длина перпендикуляра, опущенного из конца диагонали на эту грань, равна измерению $b$.

Следовательно, $sin(\beta) = \frac{b}{d}$.

3. Пусть $\gamma$ — угол между диагональю и гранью с ребрами $a$ и $b$ (грань в плоскости XY). Длина перпендикуляра, опущенного из конца диагонали на эту грань, равна измерению $c$.

Следовательно, $sin(\gamma) = \frac{c}{d}$.

Теперь найдем сумму квадратов этих синусов:

$sin^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\gamma = \left(\frac{a}{d}\right)^2 + \left(\frac{b}{d}\right)^2 + \left(\frac{c}{d}\right)^2$

$sin^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\gamma = \frac{a^2}{d^2} + \frac{b^2}{d^2} + \frac{c^2}{d^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{d^2}$

Так как $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, мы можем подставить это в знаменатель:

$sin^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\gamma = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $sin^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\gamma = 1$ доказано.