Вопросы, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой многогранник называется пирамидой? Назовите ее элементы.

2. Какая пирамида называется правильной?

3. По каким формулам можно определить площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

4. Как определяется усеченная пирамида? Назовите ее элементы.

5. Какая усеченная пирамида называется правильной?

6. По каким формулам можно определить площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды? Докажите их.

1. Какой многогранник называется пирамидой? Назовите ее элементы.

Пирамида — это многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) является произвольным многоугольником, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину.

Элементы пирамиды:

• Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
• Вершина пирамиды — общая вершина всех боковых граней (треугольников).
• Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды.
• Боковые ребра — отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания.
• Ребра основания — стороны многоугольника в основании.
• Высота пирамиды — отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости ее основания.

Ответ: Пирамида — многогранник, состоящий из многоугольника в основании, вершины (точки, не лежащей в плоскости основания) и боковых граней-треугольников. Ее элементы — основание, вершина, боковые грани, боковые ребра, ребра основания, высота.

2. Какая пирамида называется правильной?

Пирамида называется правильной, если выполняются два условия:

1. Основанием пирамиды является правильный многоугольник (например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник).
2. Основание высоты пирамиды совпадает с центром этого правильного многоугольника (то есть вершина пирамиды проецируется в центр ее основания).

У правильной пирамиды все боковые ребра равны между собой, а все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Ответ: Правильной называется пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а ее вершина проецируется в центр основания.

3. По каким формулам можно определить площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды — это сумма площадей ее боковых граней. Поскольку все боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, площадь боковой поверхности можно найти по следующей формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$

где:

• $P$ — периметр основания пирамиды.
• $l$ — апофема пирамиды (высота ее боковой грани).

Эта формула выводится из того, что боковая поверхность состоит из $n$ одинаковых треугольников, где $n$ - число сторон основания. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2} a \cdot l$, где $a$ - сторона основания. Тогда общая площадь $S_{бок} = n \cdot \frac{1}{2} a \cdot l = \frac{1}{2} (na) \cdot l$. Поскольку $P = na$, получаем указанную формулу.

Также площадь боковой поверхности можно определить как сумму площадей всех боковых граней: $S_{бок} = \sum S_{грани}$. Для правильной пирамиды с $n$ гранями это $S_{бок} = n \cdot S_{грани}$.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема.

4. Как определяется усеченная пирамида? Назовите ее элементы.

Усеченная пирамида — это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Элементы усеченной пирамиды:

• Нижнее основание — основание исходной пирамиды.
• Верхнее основание — многоугольник, полученный в сечении; он подобен нижнему основанию.
• Боковые грани — трапеции, заключенные между основаниями.
• Боковые ребра — отрезки, соединяющие соответствующие вершины нижнего и верхнего оснований.
• Высота — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований.

Ответ: Усеченная пирамида — это многогранник, образованный сечением пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию. Элементы: нижнее и верхнее основания, боковые грани (трапеции), боковые ребра, высота.

5. Какая усеченная пирамида называется правильной?

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды (то есть получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию).

Свойства правильной усеченной пирамиды:

• Оба основания являются правильными многоугольниками.
• Все боковые грани являются равными равнобедренными трапециями.
• Высоты всех боковых граней (трапеций) равны и называются апофемами правильной усеченной пирамиды.
• Отрезок, соединяющий центры оснований, является высотой пирамиды.

Ответ: Правильной называется усеченная пирамида, которая является частью правильной пирамиды.

6. По каким формулам можно определить площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды? Докажите их.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$

где:

• $P_1$ — периметр нижнего основания.
• $P_2$ — периметр верхнего основания.
• $l$ — апофема правильной усеченной пирамиды (высота боковой грани-трапеции).

Доказательство:

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды состоит из $n$ равных равнобедренных трапеций, где $n$ — число сторон многоугольников в основаниях.

Пусть $a_1$ — длина стороны нижнего основания, а $a_2$ — длина стороны верхнего основания. Тогда периметры оснований равны $P_1 = n \cdot a_1$ и $P_2 = n \cdot a_2$.

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле $S_{трапеции} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l$, где $l$ — апофема (высота этой трапеции).

Площадь всей боковой поверхности равна сумме площадей всех $n$ трапеций:

$S_{бок} = n \cdot S_{трапеции} = n \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l$

Преобразуем выражение, внеся $n$ в скобки:

$S_{бок} = \frac{n \cdot a_1 + n \cdot a_2}{2} \cdot l$

Заменим $n \cdot a_1$ на $P_1$ и $n \cdot a_2$ на $P_2$:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot l$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды определяется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$. Формула доказывается через суммирование площадей боковых граней-трапеций.