Номер 1.72, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.72. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:4, а площадь диагонального сечения равна $15 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а высота равна $h$. Согласно условию, стороны основания относятся как $3:4$. Обозначим их как $a = 3x$ и $b = 4x$, где $x$ — некоторый положительный коэффициент пропорциональности.

Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда — это прямоугольник, сторонами которого являются диагональ основания $d$ и высота параллелепипеда $h$. Площадь этого сечения равна $S_{\text{сеч}} = d \cdot h$. По условию $S_{\text{сеч}} = 15 \text{ см}^2$.

Найдем диагональ основания $d$. Так как основание является прямоугольником, по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$ Подставим выражения для $a$ и $b$: $d^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$ Отсюда, $d = \sqrt{25x^2} = 5x$.

Теперь, зная выражение для диагонали, используем площадь диагонального сечения: $S_{\text{сеч}} = d \cdot h = (5x) \cdot h = 15$ Из этого уравнения можно найти произведение $xh$: $5xh = 15$ $xh = \frac{15}{5} = 3$

Площадь боковой поверхности параллелепипеда ($S_{\text{бок}}$) равна произведению периметра основания ($P_{\text{осн}}$) на высоту ($h$): $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$ Периметр основания равен: $P_{\text{осн}} = 2(a + b) = 2(3x + 4x) = 2(7x) = 14x$ Теперь подставим это в формулу площади боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = (14x) \cdot h = 14(xh)$

Мы ранее нашли, что $xh = 3$. Подставим это значение: $S_{\text{бок}} = 14 \cdot 3 = 42 \text{ см}^2$

Ответ: $42 \text{ см}^2$.