Номер 1.66, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. Диагонали прямого параллелепипеда равны $5 \text{ м}$ и $8 \text{ м}$, высота – $2 \text{ м}$, а угол между диагоналями основания параллелепипеда – $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Найдем диагонали основания.

Пусть $D_1 = 8$ м и $D_2 = 5$ м — диагонали параллелепипеда, $h=2$ м — его высота, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали основания (параллелограмма). Для прямого параллелепипеда квадрат его диагонали равен сумме квадрата высоты и квадрата соответствующей диагонали основания.

$D_1^2 = d_1^2 + h^2$

$D_2^2 = d_2^2 + h^2$

Отсюда найдем квадраты длин диагоналей основания:

$d_1^2 = D_1^2 - h^2 = 8^2 - 2^2 = 64 - 4 = 60$ м$^2$

$d_2^2 = D_2^2 - h^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$ м$^2$

Таким образом, длины диагоналей основания равны $d_1 = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ м и $d_2 = \sqrt{21}$ м.

2. Найдем площадь основания.

Площадь параллелограмма ($S_{осн}$) можно найти через его диагонали и угол между ними ($\gamma = 60^\circ$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\gamma)$

$S_{осн} = \frac{1}{2} (2\sqrt{15}) (\sqrt{21}) \sin(60^\circ) = \sqrt{15} \cdot \sqrt{21} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{15 \cdot 21 \cdot 3}}{2}$

$S_{осн} = \frac{\sqrt{(3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7) \cdot 3}}{2} = \frac{\sqrt{3^3 \cdot 5 \cdot 7}}{2} = \frac{3\sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7}}{2} = \frac{3\sqrt{105}}{2}$ м$^2$.

Площадь двух оснований: $2S_{осн} = 3\sqrt{105}$ м$^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Основанием является параллелограмм со сторонами $a$ и $b$. Найдем их. Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника. Стороны $a$ и $b$ можно найти по теореме косинусов, применив ее к треугольникам, образованным половинами диагоналей ($d_1/2$ и $d_2/2$) и сторонами параллелограмма. Углы между половинами диагоналей равны $60^\circ$ и $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{d_1}{2}\right)\left(\frac{d_2}{2}\right)\cos(60^\circ) = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1d_2}{2}\cos(60^\circ)$

$b^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{d_1}{2}\right)\left(\frac{d_2}{2}\right)\cos(120^\circ) = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1d_2}{2}\cos(120^\circ)$

Подставим значения $d_1^2=60$, $d_2^2=21$, $\cos(60^\circ)=1/2$, $\cos(120^\circ)=-1/2$ и $d_1d_2 = \sqrt{60}\sqrt{21} = \sqrt{1260} = \sqrt{36 \cdot 35} = 6\sqrt{35}$:

$a^2 = \frac{60}{4} + \frac{21}{4} - \frac{6\sqrt{35}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{81}{4} - \frac{6\sqrt{35}}{4} = \frac{81 - 6\sqrt{35}}{4}$

$b^2 = \frac{60}{4} + \frac{21}{4} - \frac{6\sqrt{35}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{81}{4} + \frac{6\sqrt{35}}{4} = \frac{81 + 6\sqrt{35}}{4}$

Отсюда стороны равны:

$a = \sqrt{\frac{81 - 6\sqrt{35}}{4}} = \frac{\sqrt{81 - 6\sqrt{35}}}{2}$

$b = \sqrt{\frac{81 + 6\sqrt{35}}{4}} = \frac{\sqrt{81 + 6\sqrt{35}}}{2}$

Периметр основания $P_{осн} = 2(a+b) = \sqrt{81 - 6\sqrt{35}} + \sqrt{81 + 6\sqrt{35}}$.

Для упрощения этого выражения возведем его в квадрат:

$P_{осн}^2 = (\sqrt{81 - 6\sqrt{35}} + \sqrt{81 + 6\sqrt{35}})^2$

$P_{осн}^2 = (81 - 6\sqrt{35}) + (81 + 6\sqrt{35}) + 2\sqrt{(81 - 6\sqrt{35})(81 + 6\sqrt{35})}$

$P_{осн}^2 = 162 + 2\sqrt{81^2 - (6\sqrt{35})^2} = 162 + 2\sqrt{6561 - 36 \cdot 35} = 162 + 2\sqrt{6561 - 1260}$

$P_{осн}^2 = 162 + 2\sqrt{5301}$

Тогда периметр $P_{осн} = \sqrt{162 + 2\sqrt{5301}}$ м.

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = \sqrt{162 + 2\sqrt{5301}} \cdot 2 = 2\sqrt{162 + 2\sqrt{5301}}$ м$^2$.

4. Найдем площадь полной поверхности.

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 3\sqrt{105} + 2\sqrt{162 + 2\sqrt{5301}}$ м$^2$.

Ответ: $S_{полн} = 3\sqrt{105} + 2\sqrt{162 + 2\sqrt{5301}}$ м$^2$.