Номер 1.61, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.61. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно 5 см, площадь основания – $360 \, \text{см}^2$, а диагональ основания – 41 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда (равная длине бокового ребра).

Из условия задачи нам известны: высота $h = 5$ см, площадь основания $S_{осн} = 360$ см², диагональ основания $d = 41$ см.

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $b$.

Площадь основания (прямоугольника) равна произведению его сторон: $S_{осн} = a \cdot b = 360$.

По теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон: $d^2 = a^2 + b^2$.

Подставим известное значение диагонали: $a^2 + b^2 = 41^2 = 1681$.

Периметр основания $P_{осн}$ вычисляется по формуле $P_{осн} = 2(a + b)$. Для его нахождения нам нужно найти сумму сторон $a+b$. Воспользуемся алгебраическим тождеством для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Подставим в это тождество известные нам значения $a^2 + b^2 = 1681$ и $ab = 360$: $(a + b)^2 = 1681 + 2 \cdot 360 = 1681 + 720 = 2401$.

Теперь найдем сумму сторон $a+b$, извлекая квадратный корень: $a + b = \sqrt{2401} = 49$ см.

Зная сумму сторон, можем вычислить периметр основания: $P_{осн} = 2(a + b) = 2 \cdot 49 = 98$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности, умножив периметр основания на высоту параллелепипеда: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 98 \cdot 5 = 490$ см².

Ответ: $490 \text{ см}^2$.