Номер 1.68, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.68. Каждая грань наклонной призмы является ромбом с острым углом $\phi$ и стороной $\text{a}$. Найдите высоту призмы.

По условию, все грани призмы являются одинаковыми ромбами со стороной $a$ и острым углом $φ$. Такой многогранник, у которого все грани — равные ромбы, называется ромбоэдром. Ромбоэдр является частным случаем наклонной призмы. Все ребра ромбоэдра равны по длине $a$.

Высоту призмы $H$ можно найти, зная её объём $V$ и площадь основания $S_{осн}$ по формуле:

$H = \frac{V}{S_{осн}}$

Площадь основания, которым является ромб со стороной $a$ и острым углом $φ$, вычисляется как:

$S_{осн} = a \cdot a \cdot \sin{φ} = a^2 \sin{φ}$

Для нахождения объёма ромбоэдра рассмотрим три ребра, выходящие из одной вершины. Обозначим соответствующие им векторы как $\vec{u}$, $\vec{v}$ и $\vec{w}$. Длины этих векторов равны стороне ромба: $|\vec{u}| = |\vec{v}| = |\vec{w}| = a$. Углы между этими векторами определяют форму ромбоэдра. Так как все грани — это ромбы с острым углом $φ$, естественно предположить, что в одной из вершин (назовем ее вершиной схождения острых углов) все три плоских угла между рёбрами равны $φ$. То есть, мы принимаем, что углы между парами векторов $(\vec{u}, \vec{v})$, $(\vec{v}, \vec{w})$ и $(\vec{u}, \vec{w})$ равны $φ$.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$, равен модулю их смешанного произведения. Квадрат объёма можно вычислить через определитель Грама:

$V^2 = \begin{vmatrix} \vec{u} \cdot \vec{u} & \vec{u} \cdot \vec{v} & \vec{u} \cdot \vec{w} \\ \vec{v} \cdot \vec{u} & \vec{v} \cdot \vec{v} & \vec{v} \cdot \vec{w} \\ \vec{w} \cdot \vec{u} & \vec{w} \cdot \vec{v} & \vec{w} \cdot \vec{w} \end{vmatrix}$

Подставляя значения скалярных произведений ($\vec{u} \cdot \vec{u} = a^2$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = a^2 \cos{φ}$ и т.д.), получаем:

$V^2 = \begin{vmatrix} a^2 & a^2\cos{φ} & a^2\cos{φ} \\ a^2\cos{φ} & a^2 & a^2\cos{φ} \\ a^2\cos{φ} & a^2\cos{φ} & a^2 \end{vmatrix} = (a^2)^3 \begin{vmatrix} 1 & \cos{φ} & \cos{φ} \\ \cos{φ} & 1 & \cos{φ} \\ \cos{φ} & \cos{φ} & 1 \end{vmatrix}$

Значение определителя равно $1 - 3\cos^2{φ} + 2\cos^3{φ}$, что можно разложить на множители: $(1 - \cos{φ})^2(1 + 2\cos{φ})$.

Таким образом, квадрат объёма равен:

$V^2 = a^6 (1 - \cos{φ})^2 (1 + 2\cos{φ})$

Извлекая квадратный корень и учитывая, что для острого угла $φ$ выражение $1 - \cos{φ}$ положительно, получаем объём:

$V = a^3 (1 - \cos{φ}) \sqrt{1 + 2\cos{φ}}$

Теперь мы можем найти высоту $H$:

$H = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{a^3 (1 - \cos{φ}) \sqrt{1 + 2\cos{φ}}}{a^2 \sin{φ}} = a \frac{1 - \cos{φ}}{\sin{φ}} \sqrt{1 + 2\cos{φ}}$

Для упрощения дроби воспользуемся тригонометрическими формулами половинного угла:

$1 - \cos{φ} = 2\sin^2(\frac{φ}{2})$

$\sin{φ} = 2\sin(\frac{φ}{2})\cos(\frac{φ}{2})$

Тогда:

$\frac{1 - \cos{φ}}{\sin{φ}} = \frac{2\sin^2(\frac{φ}{2})}{2\sin(\frac{φ}{2})\cos(\frac{φ}{2})} = \frac{\sin(\frac{φ}{2})}{\cos(\frac{φ}{2})} = \tan(\frac{φ}{2})$

Подставляя это в выражение для высоты, получаем окончательный результат.

Ответ: $H = a \tan(\frac{φ}{2}) \sqrt{1 + 2\cos{φ}}$