Номер 1.75, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.75. Если диагональ прямоугольного параллелепипеда с ребрами, имеющими с ней общую вершину, образует углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то выполняется равенство

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1.$

Докажите.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Пусть длины его ребер, выходящих из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$. Диагональ параллелепипеда $d$, выходящая из той же вершины, по теореме Пифагора для трехмерного пространства имеет длину, квадрат которой равен сумме квадратов длин его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — это углы, которые данная диагональ $d$ образует с ребрами длиной $a$, $b$ и $c$ соответственно, выходящими из той же вершины.

Чтобы найти косинус угла $\alpha$, рассмотрим треугольник, образованный диагональю $d$, ребром $a$ и диагональю грани со сторонами $b$ и $c$. Так как ребро $a$ перпендикулярно грани, в которой лежат стороны $b$ и $c$, оно перпендикулярно и диагонали этой грани. Следовательно, указанный треугольник является прямоугольным. В этом треугольнике диагональ параллелепипеда $d$ является гипотенузой, а ребро $a$ — катетом, прилежащим к углу $\alpha$. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos\alpha = \frac{a}{d}$.

Проводя аналогичные рассуждения для двух других ребер, выходящих из той же вершины, получаем выражения для косинусов углов $\beta$ и $\gamma$: $\cos\beta = \frac{b}{d}$ и $\cos\gamma = \frac{c}{d}$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть доказываемого равенства: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \left(\frac{a}{d}\right)^2 + \left(\frac{b}{d}\right)^2 + \left(\frac{c}{d}\right)^2 = \frac{a^2}{d^2} + \frac{b^2}{d^2} + \frac{c^2}{d^2}$.

Сложив дроби с одинаковым знаменателем, получим: $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{d^2}$.

Используя ранее установленное соотношение $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, подставляем его в знаменатель и получаем: $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.

Таким образом, мы доказали, что $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$.

Ответ: Равенство доказано.