Номер 1.67, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.67. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно $\text{a}$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Нахождение площади оснований

В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. По условию, каждое ребро призмы равно $a$, значит, сторона основания также равна $a$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

У призмы два основания (верхнее и нижнее), поэтому их суммарная площадь составляет:

$2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Нахождение площади боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из трех равных граней. Так как призма правильная, ее боковые грани являются прямоугольниками. По условию, все ребра равны $a$. Это означает, что ребро основания равно $a$ и боковое ребро (которое является высотой правильной призмы) также равно $a$. Следовательно, каждая боковая грань является квадратом со стороной $a$.

Площадь одного такого квадрата равна $a^2$. Так как таких граней три, площадь всей боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 3 \cdot a^2$

Нахождение площади полной поверхности

Теперь сложим площадь боковой поверхности и суммарную площадь двух оснований, чтобы найти площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3a^2$

Можно вынести за скобки общий множитель $a^2$ или привести выражение к общему знаменателю:

$S_{полн} = a^2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \right) = \frac{a^2\sqrt{3} + 6a^2}{2} = \frac{a^2(\sqrt{3} + 6)}{2}$

Ответ: $S_{полн} = \frac{a^2(6 + \sqrt{3})}{2}$