Номер 1.60, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.60. Выразите диагональ $\text{d}$ куба через диагональ его грани $d_1$.

Пусть ребро куба равно $a$.

Диагональ грани куба, $d_1$, является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — два ребра куба $a$. Согласно теореме Пифагора: $d_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ Из этого соотношения мы можем выразить квадрат длины ребра куба через квадрат диагонали грани: $a^2 = \frac{d_1^2}{2}$

Диагональ куба, $d$, также является гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника являются ребро куба $a$ и диагональ грани куба $d_1$. Снова применяя теорему Пифагора, получаем: $d^2 = a^2 + d_1^2$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $a^2$ в эту формулу: $d^2 = \left(\frac{d_1^2}{2}\right) + d_1^2$ Приведем к общему знаменателю: $d^2 = \frac{d_1^2 + 2d_1^2}{2} = \frac{3d_1^2}{2}$

Чтобы найти $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $d = \sqrt{\frac{3d_1^2}{2}} = d_1\sqrt{\frac{3}{2}}$ Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби под корнем на 2: $d = d_1\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}} = d_1\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $d = d_1 \sqrt{\frac{3}{2}}$ или $d = d_1 \frac{\sqrt{6}}{2}$