Номер 1.56, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56. Может ли количество вершин призмы быть равным:

1) 20;

2) 32;

3) 105?

Если может, то определите количество ребер и граней этой призмы. Обоснуйте ответ.

Для любой призмы, в основании которой лежит $n$-угольник, количество вершин, ребер и граней можно определить по следующим формулам:

• Количество вершин (В): $В = 2n$ (по $n$ вершин на каждом из двух оснований).
• Количество ребер (Р): $Р = 3n$ ($n$ ребер на верхнем основании, $n$ на нижнем и $n$ боковых ребер).
• Количество граней (Г): $Г = n + 2$ (2 основания и $n$ боковых граней).

Из формулы для вершин $В = 2n$ следует, что количество вершин у любой призмы всегда является четным числом, так как $n$ (число сторон многоугольника в основании) должно быть целым числом ($n \ge 3$).

1) 20

Да, количество вершин призмы может быть равным 20.

Обоснование: Так как количество вершин равно 20, мы можем найти количество сторон многоугольника в основании ($n$) из уравнения $2n = 20$. Решая его, получаем $n = 10$. Поскольку $n=10$ является целым числом, и $10 \ge 3$, то такая призма существует. Это призма, в основании которой лежит десятиугольник. Определим количество ребер и граней для этой призмы: Количество ребер: $Р = 3n = 3 \cdot 10 = 30$. Количество граней: $Г = n + 2 = 10 + 2 = 12$.

Ответ: может; 30 ребер и 12 граней.

2) 32

Да, количество вершин призмы может быть равным 32.

Обоснование: Аналогично предыдущему пункту, решим уравнение $2n = 32$. Получаем $n = 16$. Так как $n=16$ - целое число и $16 \ge 3$, то существует призма, в основании которой лежит 16-угольник. Определим количество ребер и граней для этой призмы: Количество ребер: $Р = 3n = 3 \cdot 16 = 48$. Количество граней: $Г = n + 2 = 16 + 2 = 18$.

Ответ: может; 48 ребер и 18 граней.

3) 105

Нет, количество вершин призмы не может быть равным 105.

Обоснование: Как было установлено, количество вершин у любой призмы должно быть четным числом ($В = 2n$). Число 105 является нечетным. Если попытаться решить уравнение $2n = 105$, получится $n = 52.5$, что не является целым числом. Количество сторон многоугольника в основании не может быть дробным. Следовательно, не существует призмы со 105 вершинами.

Ответ: не может.