Номер 1.52, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.52. По условию предыдущей задачи $\text{a}$ и $\text{b}$ - стороны основания прямой треугольной призмы, $\varphi$ - угол между ними, а $\text{c}$ - боковое ребро призмы. Найдите площади ее боковой и полной поверхностей (рис. 1.30).

Рис. 1.30

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется как произведение периметра ее основания $P_{осн}$ на высоту. В данной задаче высота призмы совпадает с длиной бокового ребра $c$.

Основанием призмы является треугольник. Две его стороны равны $a$ и $b$, а угол между ними — $\varphi$. Для нахождения периметра нам необходимо найти третью сторону основания. Обозначим ее $d$. По теореме косинусов для этого треугольника: $d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi$ Следовательно, третья сторона равна: $d = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi}$

Теперь мы можем найти периметр основания $P_{осн}$ как сумму длин всех его сторон: $P_{осн} = a + b + d = a + b + \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi}$

Площадь боковой поверхности призмы равна: $S_{бок} = P_{осн} \cdot c = (a + b + \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi})c$

Ответ: $S_{бок} = (a + b + \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi})c$.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ — это сумма площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований (верхнего и нижнего) $2S_{осн}$: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь основания $S_{осн}$, которое является треугольником со сторонами $a$ и $b$ и углом $\varphi$ между ними, вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{1}{2}ab \sin \varphi$

Теперь подставим выражения для $S_{бок}$ и $S_{осн}$ в формулу для площади полной поверхности: $S_{полн} = (a + b + \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi})c + 2 \cdot (\frac{1}{2}ab \sin \varphi)$

После упрощения получаем итоговую формулу: $S_{полн} = (a + b + \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi})c + ab \sin \varphi$

Ответ: $S_{полн} = (a + b + \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \varphi})c + ab \sin \varphi$.