Номер 1.46, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.46. Дан куб с ребром, равным 2 см. Найдите:

1) диагональ боковой грани;

2) диагональ куба;

3) площадь диагонального сечения;

4) площадь полной поверхности (рис. 1.28).

Рис. 1.28

1) диагональ боковой грани

Боковая грань куба является квадратом. Пусть ребро куба равно $a$. В данном случае $a = 2$ см. Диагональ $d_f$ боковой грани является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются два ребра куба. По теореме Пифагора:

$d_f^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d_f = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим значение $a = 2$ см:

$d_f = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

2) диагональ куба

Диагональ куба $d_c$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ грани $d_f$. По теореме Пифагора:

$d_c^2 = a^2 + d_f^2$

Так как из предыдущего пункта $d_f^2 = 2a^2$, то:

$d_c^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

$d_c = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Подставим значение $a = 2$ см:

$d_c = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

3) площадь диагонального сечения

Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник. Сторонами этого прямоугольника являются ребро куба $a$ и диагональ грани $d_f$. Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ равна произведению его сторон:

$S_{сеч} = a \cdot d_f$

Мы уже знаем, что $a = 2$ см и $d_f = 2\sqrt{2}$ см.

$S_{сеч} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см².

Ответ: $4\sqrt{2}$ см².

4) площадь полной поверхности

Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани $S_{гр}$ равна:

$S_{гр} = a^2$

$S_{гр} = 2^2 = 4$ см².

Площадь полной поверхности куба $S_{полн}$ равна сумме площадей всех шести граней:

$S_{полн} = 6 \cdot S_{гр} = 6a^2$

$S_{полн} = 6 \cdot 4 = 24$ см².

Ответ: 24 см².