Номер 1.41, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.41. Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы (рис. 1.23):

1) 6, 8, 10, 19

2) 10, 10, 10, 14

Рис. 1.23

1) Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

В основании призмы лежит прямоугольный треугольник, что показано символом прямого угла. Катеты этого треугольника равны 6 и 8, а гипотенуза равна 10. Площадь основания (прямоугольного треугольника) равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h$. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть $h = 19$.

Периметр основания: $P_{осн} = 6 + 8 + 10 = 24$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 19 = 456$.

Теперь найдем площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 24 + 456 = 48 + 456 = 504$.

Ответ: 504.

2) В основании данной прямой призмы лежит равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 14. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра, то есть $h = 10$. Символы прямого угла показывают, что боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, что соответствует определению прямой призмы.

Найдем площадь основания $S_{осн}$. Для этого найдем высоту $h_{тр}$ треугольника, проведенную к основанию длиной 14. В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой и делит основание на два равных отрезка по 7. По теореме Пифагора для получившегося прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и катетом 7:

$h_{тр} = \sqrt{10^2 - 7^2} = \sqrt{100 - 49} = \sqrt{51}$.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_{тр} = 7\sqrt{51}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h$.

Периметр основания: $P_{осн} = 10 + 10 + 14 = 34$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 34 \cdot 10 = 340$.

Найдем площадь полной поверхности призмы по формуле $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$:

$S_{полн} = 2 \cdot 7\sqrt{51} + 340 = 14\sqrt{51} + 340$.

Ответ: $14\sqrt{51} + 340$.