Номер 1.36, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.36. Ребро куба равно 12. Площадь полной поверхности куба равна площади полной поверхности прямой треугольной призмы. Гипотенуза прямоугольного треугольника, являющегося основанием прямой призмы, равна 10, а один из катетов равен 6. Найдите высоту призмы.

Сначала найдем площадь полной поверхности куба. Ребро куба $a = 12$. Площадь полной поверхности куба $S_{куба}$ равна сумме площадей шести его граней-квадратов:

$S_{куба} = 6a^2 = 6 \cdot 12^2 = 6 \cdot 144 = 864$.

Теперь найдем параметры основания прямой треугольной призмы. Основанием является прямоугольный треугольник. Его гипотенуза $c = 10$, а один из катетов $k_1 = 6$. Найдем второй катет $k_2$ по теореме Пифагора: $k_1^2 + k_2^2 = c^2$.

$6^2 + k_2^2 = 10^2$

$36 + k_2^2 = 100$

$k_2^2 = 100 - 36 = 64$

$k_2 = \sqrt{64} = 8$.

Далее вычислим площадь основания призмы $S_{осн}$ и периметр основания $P_{осн}$.

Площадь основания (прямоугольного треугольника): $S_{осн} = \frac{1}{2} k_1 k_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

Периметр основания: $P_{осн} = k_1 + k_2 + c = 6 + 8 + 10 = 24$.

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{призмы}$ вычисляется по формуле $S_{призмы} = 2S_{осн} + P_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота призмы.

$S_{призмы} = 2 \cdot 24 + 24 \cdot H = 48 + 24H$.

По условию задачи, площади полных поверхностей куба и призмы равны: $S_{куба} = S_{призмы}$. Составим и решим уравнение относительно $H$:

$864 = 48 + 24H$

$24H = 864 - 48$

$24H = 816$

$H = \frac{816}{24} = 34$.

Ответ: 34.