Номер 1.32, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.32. Ребро куба равно $\text{a}$. Найдите расстояние от диагонали куба до ребра, не пересекающегося с данной диагональю (рис. 1.15).

Рис. 1.15

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $a$. Требуется найти расстояние между диагональю куба и ребром, не пересекающим эту диагональ (такие прямые являются скрещивающимися).

В силу симметрии куба, это расстояние будет одинаковым для любой пары, состоящей из диагонали куба и скрещивающегося с ней ребра. Выберем для рассмотрения диагональ $A_1C$ и ребро $DD_1$. Они являются скрещивающимися, так как лежат в разных гранях и не имеют общих точек.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую. Найдем расстояние от ребра $DD_1$ до плоскости, содержащей диагональ $A_1C$ и параллельной ребру $DD_1$.

Рассмотрим диагональную плоскость $AA_1C_1C$. Эта плоскость содержит точки $A_1$ и $C$, а значит, содержит и всю диагональ $A_1C$. Также эта плоскость параллельна ребру $DD_1$, поскольку она содержит прямую $AA_1$, а ребра $AA_1$ и $DD_1$ параллельны ($AA_1 \parallel DD_1$). Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от прямой $DD_1$ до плоскости $AA_1C_1C$.

Так как прямая $DD_1$ параллельна плоскости $AA_1C_1C$, расстояние от прямой до плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Выберем точку $D$ на ребре $DD_1$. Задача сводится к нахождению расстояния от точки $D$ до плоскости $AA_1C_1C$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Докажем, что отрезок $DO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$, является таким перпендикуляром.

Рассмотрим диагональ $BD$ грани $ABCD$. В квадрате $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $BD \perp AC$. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AA_1 \perp BD$.

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $AA_1C_1C$, она перпендикулярна всей плоскости $AA_1C_1C$.

Точка $O$ является точкой пересечения прямой $BD$ с плоскостью $AA_1C_1C$ (так как $O$ лежит на прямой $AC$, которая принадлежит этой плоскости). Следовательно, отрезок $DO$ является перпендикуляром из точки $D$ к плоскости $AA_1C_1C$, и его длина и есть искомое расстояние.

Найдем длину отрезка $DO$. В квадрате $ABCD$ со стороной $a$ длина диагонали $BD$ вычисляется по теореме Пифагора: $|BD| = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, поэтому $O$ — середина $BD$. Тогда длина отрезка $DO$ равна половине длины диагонали $BD$:

$|DO| = \frac{1}{2} |BD| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$