Номер 1.45, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.45. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной 3 см. Высота призмы равна 6 см. Докажите, что площадь развертки призмы равна $27 \left(4 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $см^2$ (рис. 1.27).

Рис. 1.27

Для доказательства утверждения найдем площадь развертки призмы. Площадь развертки (или полной поверхности призмы) $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $2S_{осн}$.

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Найдем каждую из этих площадей по отдельности.

1. Нахождение площади боковой поверхности ($S_{бок}$)

Боковая поверхность правильной призмы представляет собой прямоугольник, если ее развернуть. Высота этого прямоугольника равна высоте призмы $h$, а его длина – периметру основания $P_{осн}$.

По условию, высота призмы $h = 6$ см.

Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 3$ см. Периметр такого шестиугольника равен:

$P_{осн} = 6 \times a = 6 \times 3 = 18$ см.

Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \times h = 18 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 108$ см².

2. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основание призмы – правильный шестиугольник со стороной $a = 3$ см. Такой шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.

Площадь одного равностороннего треугольника сo стороной $a$ находится по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a=3$ см:

$S_{\triangle} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

Так как шестиугольник состоит из шести таких треугольников, его площадь равна:

$S_{осн} = 6 \times S_{\triangle} = 6 \times \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{54\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности ($S_{полн}$)

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 108 + 2 \times \frac{27\sqrt{3}}{2} = 108 + 27\sqrt{3}$ см².

4. Сравнение с утверждением в задаче

В задаче требуется доказать, что площадь развертки равна $27\left(4 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ см². Раскроем скобки в этом выражении, чтобы сравнить его с нашим результатом:

$27\left(4 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 27 \times 4 + 27 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 108 + \frac{27\sqrt{3}}{2}$ см².

Сравним наш расчетный результат с выражением из задачи:

Наш результат: $S_{полн} = 108 + 27\sqrt{3}$ см².

Результат из условия: $108 + \frac{27\sqrt{3}}{2}$ см².

Очевидно, что $108 + 27\sqrt{3} \neq 108 + \frac{27\sqrt{3}}{2}$.

Это означает, что в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка. Если мы преобразуем наш правильный результат, вынеся за скобки 27, то получим:

$S_{полн} = 108 + 27\sqrt{3} = 27 \times 4 + 27\sqrt{3} = 27(4 + \sqrt{3})$ см².

Таким образом, мы доказали, что утверждение в задаче в его первоначальном виде неверно. Правильное выражение для площади развертки должно было быть $27(4 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: Вычисленная площадь развертки призмы составляет $S_{полн} = 108 + 27\sqrt{3}$ см², что равно $27(4 + \sqrt{3})$ см². Утверждение, данное в задаче, является неверным, так как $27\left(4 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 108 + \frac{27\sqrt{3}}{2}$, а не $108 + 27\sqrt{3}$. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.