Номер 1.50, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. По заданным площадям трех граней, имеющим общую вершину, найдите три измерения прямоугольного параллелепипеда:

1) $30 \text{ см}^2$, $40 \text{ см}^2$, $48 \text{ см}^3$;

2) $21 \text{ м}^2$, $33 \text{ м}^2$, $77 \text{ м}^2$.

Пусть три измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Три грани, имеющие общую вершину, представляют собой прямоугольники со сторонами ($a$, $b$), ($b$, $c$) и ($a$, $c$). Их площади $S_1$, $S_2$ и $S_3$ равны:

$ab = S_1$

$bc = S_2$

$ac = S_3$

Чтобы найти измерения $a$, $b$ и $c$, мы можем решить эту систему уравнений. Перемножим все три уравнения:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (ab)(bc)(ac) = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2$

Отсюда можно найти произведение измерений (которое равно объему $V$ параллелепипеда):

$abc = \sqrt{S_1 S_2 S_3}$

Теперь, зная произведение трех измерений, мы можем найти каждое измерение в отдельности, разделив это произведение на площадь соответствующей грани:

$a = \frac{abc}{bc} = \frac{\sqrt{S_1 S_2 S_3}}{S_2} = \sqrt{\frac{S_1 S_2 S_3}{S_2^2}} = \sqrt{\frac{S_1 S_3}{S_2}}$

$b = \frac{abc}{ac} = \frac{\sqrt{S_1 S_2 S_3}}{S_3} = \sqrt{\frac{S_1 S_2 S_3}{S_3^2}} = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{S_3}}$

$c = \frac{abc}{ab} = \frac{\sqrt{S_1 S_2 S_3}}{S_1} = \sqrt{\frac{S_1 S_2 S_3}{S_1^2}} = \sqrt{\frac{S_2 S_3}{S_1}}$

Применим эти формулы для решения задачи.

1) Даны площади граней: $S_1 = 30 \text{ см}^2$, $S_2 = 40 \text{ см}^2$, $S_3 = 48 \text{ см}^2$. Для удобства расчетов, положим $S_1 = ab = 30$, $S_2 = bc = 40$, $S_3 = ac = 48$.

Найдем измерения $a$, $b$ и $c$:

$a = \sqrt{\frac{S_1 S_3}{S_2}} = \sqrt{\frac{30 \cdot 48}{40}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 48}{4}} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

$b = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{S_3}} = \sqrt{\frac{30 \cdot 40}{48}} = \sqrt{\frac{1200}{48}} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

$c = \sqrt{\frac{S_2 S_3}{S_1}} = \sqrt{\frac{40 \cdot 48}{30}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 48}{3}} = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$.

Проверка: $6 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 30 \text{ см}^2$, $5 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$, $6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см, 5 см, 8 см.

2) Даны площади граней: $S_1 = 21 \text{ м}^2$, $S_2 = 33 \text{ м}^2$, $S_3 = 77 \text{ м}^2$. Положим $S_1 = ab = 21$, $S_2 = bc = 33$, $S_3 = ac = 77$.

Найдем измерения $a$, $b$ и $c$:

$a = \sqrt{\frac{S_1 S_3}{S_2}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 77}{33}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 11)}{3 \cdot 11}} = \sqrt{7^2} = 7 \text{ м}$.

$b = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{S_3}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 33}{77}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 11)}{7 \cdot 11}} = \sqrt{3^2} = 3 \text{ м}$.

$c = \sqrt{\frac{S_2 S_3}{S_1}} = \sqrt{\frac{33 \cdot 77}{21}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 11) \cdot (7 \cdot 11)}{3 \cdot 7}} = \sqrt{11^2} = 11 \text{ м}$.

Проверка: $7 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 21 \text{ м}^2$, $3 \text{ м} \cdot 11 \text{ м} = 33 \text{ м}^2$, $7 \text{ м} \cdot 11 \text{ м} = 77 \text{ м}^2$.

Ответ: 7 м, 3 м, 11 м.