Номер 1.54, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Ребро основания правильной треугольной призмы равно $\text{a}$, а ее высота – $\text{h}$. Найдите площадь полной поверхности призмы, если:

1) $a=5$ м, $h=8$ м;

2) $a=2\sqrt{3}$ см, $h=4$ см.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади её боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей основания ($S_{осн}$).

Формула для нахождения площади полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Боковая поверхность призмы состоит из трёх одинаковых прямоугольников. Стороны каждого прямоугольника равны ребру основания $a$ и высоте призмы $h$. Следовательно, площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 3 \cdot a \cdot h$

Объединив формулы, получим общую формулу для площади полной поверхности правильной треугольной призмы:

$S_{полн} = 3ah + 2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 3ah + \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$

Применим эту формулу для данных в задаче значений.

1) Дано: $a=5$ м, $h=8$ м.

Сначала найдём площадь одного основания:

$S_{осн} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4}$ м².

Затем найдём площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 3 \cdot 5 \cdot 8 = 120$ м².

Теперь вычислим площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 120 + 2 \cdot \frac{25 \sqrt{3}}{4} = 120 + \frac{25 \sqrt{3}}{2}$ м².

Ответ: $120 + \frac{25 \sqrt{3}}{2}$ м².

2) Дано: $a = 2\sqrt{3}$ см, $h=4$ см.

Сначала найдём площадь одного основания:

$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ см².

Затем найдём площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 3 \cdot a \cdot h = 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 24\sqrt{3}$ см².

Теперь вычислим площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 24\sqrt{3} + 2 \cdot (3\sqrt{3}) = 24\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$ см².

Ответ: $30\sqrt{3}$ см².