Номер 1.44, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.44. Основанием призмы является ромб с острым углом 60° и со стороной, равной 4 см. Боковые грани призмы являются квадратами. Докажите, что площадь развертки призмы равна $16(4+\sqrt{3}) \text{ см}^2$ (рис. 1.26).

Рис. 1.26

Доказательство

Площадь полной поверхности призмы, которая соответствует площади её развертки $S_{разв}$, состоит из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$.

$S_{разв} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

1. Найдем площадь основания. Основанием призмы является ромб со стороной $a = 4$ см и острым углом $\alpha = 60^\circ$. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S = a^2 \sin\alpha$.

Подставим наши значения:

$S_{осн} = 4^2 \cdot \sin 60^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см².

Так как у призмы два основания, их общая площадь равна:

$2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности. Боковые грани призмы — квадраты. Это означает, что призма является прямой, и её высота равна стороне основания. Сторона каждой боковой грани-квадрата равна стороне ромба, то есть 4 см.

Площадь одной боковой грани (квадрата) составляет:

$S_{грани} = 4 \cdot 4 = 16$ см².

Ромб имеет четыре стороны, следовательно, у призмы четыре боковые грани. Площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырех одинаковых квадратов:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 16 = 64$ см².

3. Теперь вычислим общую площадь развертки, сложив площади оснований и боковой поверхности:

$S_{разв} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 64 + 16\sqrt{3}$ см².

Для приведения к требуемому в задаче виду вынесем общий множитель 16 за скобки:

$S_{разв} = 16(4 + \sqrt{3})$ см².

Это полностью совпадает с выражением, которое требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, площадь развертки призмы действительно равна $16(4 + \sqrt{3})$ см².