Номер 1.63, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.63. Основанием прямой призмы служит ромб. Диагонали призмы равны 8 см и 5 см, а высота – 2 см. Найдите сторону ромба.

Пусть $D_1 = 8$ см и $D_2 = 5$ см — диагонали прямой призмы, $h = 2$ см — её высота, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба, лежащего в основании.

Диагональ призмы, её высота и соответствующая диагональ основания образуют прямоугольный треугольник. Гипотенузой в таком треугольнике является диагональ призмы, а катетами — высота призмы и диагональ основания. По теореме Пифагора: $D^2 = d^2 + h^2$

Применим эту формулу для нахождения квадратов диагоналей ромба: $d_1^2 = D_1^2 - h^2 = 8^2 - 2^2 = 64 - 4 = 60$ (см$^2$) $d_2^2 = D_2^2 - h^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$ (см$^2$)

Сторона ромба $a$ связана с его диагоналями $d_1$ и $d_2$ через свойство диагоналей ромба, которые перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрев один из четырех прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб, по теореме Пифагора получаем: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4}$

Подставим найденные значения $d_1^2$ и $d_2^2$: $a^2 = \frac{60 + 21}{4} = \frac{81}{4}$

Тогда сторона ромба равна: $a = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Ответ: 4,5 см.