Страница 52, часть 3 - гдз по математике 2 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 а) Что общего у чисел 27, 72, 123, 225? Какое число лишнее? Имеются ли другие варианты ответа? Построй графическую модель числа 225 и заполни пропуски.

$[ ] = [ ] с [ ] д [ ] е = [ ] с [ ] д [ ] е$

$[ ] \text{ см} = [ ] \text{ м} [ ] \text{ дм} [ ] \text{ см} = [ ] \text{ м} [ ] \text{ дм} [ ] \text{ см}$

б) Составь из чисел ряда примеры на вычитание по заданным эталонам.

• 10
[ ] [ ]
-
[ ] [ ]
-----
[ ] [ ]

[ ] [ ]
-
[ ] [ ]
-----
[ ] [ ]

[ ] [ ]
[ ] [ ]
-
[ ] [ ]
-----
[ ] [ ]

[ ] [ ]
-
[ ]
-----
[ ] [ ]

а) Попробуй решить примеры 243 – 114, 316 – 152. Что в них нового?

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Реши примеры 243 – 114, 316 – 152 графическим способом. Предложи свои варианты эталонов.

$ \triangle\triangle \substack{\triangle \\ \triangle\triangle} \text{::} - \triangle \triangle\triangle \text{::} = \triangle\triangle \substack{\triangle \\ \triangle\triangle} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot - \triangle \triangle\triangle \cdot $

$ = $

$ \triangle\triangle\triangle \substack{\triangle \\ \triangle\triangle\triangle\triangle} \text{::} - \triangle\triangle \triangle\triangle\triangle \cdot = \triangle\triangle\triangle \begin{array}{c}\triangle\\\triangle\triangle\\\triangle\triangle\triangle\\\triangle\triangle\triangle\triangle\end{array} \text{::} - \triangle\triangle \triangle\triangle\triangle \cdot $

$ = $

Что ты замечаешь? Сделай вывод и проверь себя по учебному пособию, с. 60.

Сначала решим примеры вычитанием в столбик.

Пример 1: $243 - 114$
1. Единицы: Из 3 нельзя вычесть 4. Занимаем 1 десяток у 4 десятков (в разряде десятков остаётся 3). Получаем $10 + 3 = 13$ единиц. Теперь вычитаем: $13 - 4 = 9$. Записываем 9 в разряд единиц.
2. Десятки: У нас осталось 3 десятка. Вычитаем: $3 - 1 = 2$. Записываем 2 в разряд десятков.
3. Сотни: Вычитаем: $2 - 1 = 1$. Записываем 1 в разряд сотен.
Результат: 129.

Пример 2: $316 - 152$
1. Единицы: $6 - 2 = 4$. Записываем 4 в разряд единиц.
2. Десятки: Из 1 нельзя вычесть 5. Занимаем 1 сотню у 3 сотен (в разряде сотен остаётся 2). Получаем $10 + 1 = 11$ десятков. Теперь вычитаем: $11 - 5 = 6$. Записываем 6 в разряд десятков.
3. Сотни: У нас осталось 2 сотни. Вычитаем: $2 - 1 = 1$. Записываем 1 в разряд сотен.
Результат: 164.

Что в них нового?
Новое в этих примерах то, что при вычитании в столбик в некоторых разрядах (единицах в первом примере, десятках во втором) цифра в уменьшаемом оказывается меньше, чем цифра в вычитаемом. В таких случаях приходится "занимать" единицу из старшего разряда. Этот процесс называется вычитанием с переходом через разряд.

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.
Что я пока не знаю: Я не уверен в том, как правильно и последовательно выполнять вычитание, когда нужно "занимать" единицы из старших разрядов.
Цель: Научиться алгоритму письменного вычитания многозначных чисел с переходом через разряд.
План:
1. Понять, что означает "занять" единицу, используя наглядные графические модели.
2. Решить примеры графическим способом, чтобы увидеть процесс "заема".
3. Сформулировать четкое правило (алгоритм) для вычитания в столбик.
4. Попрактиковаться в решении аналогичных примеров для закрепления навыка.

Ответ: $243 - 114 = 129$, $316 - 152 = 164$. Новое в примерах — это вычитание с переходом через разряд (необходимость "занимать" из старшего разряда).

Решим примеры графическим способом. В качестве эталонов будем использовать: большой треугольник (Δ) для сотен, средний треугольник (△) для десятков и точку (•) для единиц.

Решение примера $243 - 114$ графическим способом:
1. Представим число 243: ΔΔ △△△△ ••• (2 сотни, 4 десятка, 3 единицы).
2. Из этого нам нужно вычесть число 114: Δ △ •••• (1 сотня, 1 десяток, 4 единицы).
3. Вычитаем единицы: из 3 точек (•••) нужно вычесть 4 (••••). Не хватает. Мы "занимаем" 1 десяток (△) и заменяем его на 10 единиц (••••• •••••). Теперь у нас стало 3 десятка (△△△) и $3+10=13$ единиц.
4. Теперь вычитание единиц возможно: 13 точек − 4 точки = 9 точек (••••• ••••).
5. Вычитаем десятки: у нас осталось 3 десятка, вычитаем 1 десяток: 3 (△△△) − 1 (△) = 2 десятка (△△).
6. Вычитаем сотни: у нас 2 сотни, вычитаем 1 сотню: 2 (ΔΔ) − 1 (Δ) = 1 сотня (Δ).
7. Получаем результат: Δ △△ •••••••••. Это число 129.

Решение примера $316 - 152$ графическим способом:
1. Представим число 316: ΔΔΔ △ •••••• (3 сотни, 1 десяток, 6 единиц).
2. Из этого нам нужно вычесть число 152: Δ △△△△△ •• (1 сотня, 5 десятков, 2 единицы).
3. Вычитаем единицы: из 6 точек (••••••) вычитаем 2 точки (••). Получается 4 точки (••••).
4. Вычитаем десятки: из 1 десятка (△) нужно вычесть 5 десятков (△△△△△). Не хватает. Мы "занимаем" 1 сотню (Δ) и заменяем ее на 10 десятков (△△△△△ △△△△△). Теперь у нас стало 2 сотни (ΔΔ) и $1+10=11$ десятков.
5. Теперь вычитание десятков возможно: 11 десятков − 5 десятков = 6 десятков (△△△△△△).
6. Вычитаем сотни: у нас осталось 2 сотни, вычитаем 1 сотню: 2 (ΔΔ) − 1 (Δ) = 1 сотня (Δ).
7. Получаем результат: Δ △△△△△△ ••••. Это число 164.

Предложи свои варианты эталонов.
В качестве эталонов можно использовать более простые и привычные фигуры:
- Сотни: Большой квадрат ■
- Десятки: Палочка |
- Единицы: Точка •
Так, число 243 выглядело бы как: ■■ |||| •••

Что ты замечаешь? Сделай вывод и проверь себя по учебному пособию, с. 60.
Что я замечаю: Я замечаю, что графический метод наглядно показывает, что происходит при вычитании в столбик. Когда единиц в одном разряде не хватает для вычитания, мы фактически "размениваем" одну крупную единицу (сотню или десяток) на 10 более мелких.
Вывод: Если при вычитании в столбик в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, нужно "занять" 1 у цифры следующего, более старшего разряда. "Занятая" единица превращается в 10 единиц того разряда, для которого мы ее заняли, и прибавляется к уже имеющимся там единицам. После этого можно выполнять вычитание.

Ответ: Графическое решение подтверждает результаты: $243 - 114 = 129$ и $316 - 152 = 164$. Вывод: вычитание с переходом через разряд основано на "заеме" единицы старшего разряда и ее представлении в виде 10 единиц младшего разряда.

1. Выполни действия.

$18 \text{ : } 9 \text{ : } 1 = \Box$

$5 \text{ : } 5 \cdot 6 = \Box$

$14 \cdot 0 \text{ : } 7 = \Box$

18 : 9 : 1

Для решения данного примера необходимо выполнять действия последовательно слева направо, так как в выражении используется только деление.

1. Сначала разделим 18 на 9:

$18 : 9 = 2$

2. Теперь разделим полученный результат на 1:

$2 : 1 = 2$

Таким образом, $18 : 9 : 1 = 2$.

Ответ: 2

5 : 5 · 6

В этом примере есть деление и умножение. Эти операции имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо.

1. Первое действие – деление:

$5 : 5 = 1$

2. Второе действие – умножение результата на 6:

$1 \cdot 6 = 6$

Следовательно, $5 : 5 \cdot 6 = 6$.

Ответ: 6

14 · 0 : 7

Выполним действия в том порядке, в котором они записаны, то есть слева направо.

1. Первое действие – умножение 14 на 0. Любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

$14 \cdot 0 = 0$

2. Второе действие – деление результата на 7. Если ноль разделить на любое число (кроме нуля), получится ноль.

$0 : 7 = 0$

Таким образом, $14 \cdot 0 : 7 = 0$.

Ответ: 0

2 1. Реши задачи. Чем они похожи и чем отличаются?

а) 12 клубничек разделили на 4 равные части. Сколько клубничек в каждой части?

б) 12 клубничек разделили на равные части так, чтобы в каждой части было по 4 ягоды. На сколько частей разделили клубнику?

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

2. Сделай рисунки к задачам. Что ты замечаешь? Сделай вывод и проверь себя по учебному пособию, с. 84.

а) б)

1. Реши задачи. Чем они похожи и чем отличаются?

а) 12 клубничек разделили на 4 равные части. Сколько клубничек в каждой части?

Чтобы найти, сколько клубничек в каждой части, необходимо общее количество клубничек разделить на количество равных частей.

Решение: $12 \div 4 = 3$ (клубнички).

Ответ: в каждой части по 3 клубнички.

б) 12 клубничек разделили на равные части так, чтобы в каждой части было по 4 ягоды. На сколько частей разделили клубнику?

Чтобы найти, на сколько частей разделили клубнику, необходимо общее количество клубничек разделить на количество ягод в каждой части.

Решение: $12 \div 4 = 3$ (части).

Ответ: клубнику разделили на 3 части.

Чем они похожи и чем отличаются?

Сходства:

• Обе задачи решаются одним и тем же математическим действием — делением.
• В условиях обеих задач используются одинаковые числа: 12 и 4.
• Результат вычисления в обоих случаях одинаковый: 3.

Различия:

• В задачах задаются разные вопросы. В задаче а) нужно найти количество предметов в каждой части (это задача на деление на равные части). В задаче б) нужно найти количество самих частей (это задача на деление по содержанию).
• Из-за разных вопросов ответы имеют разные наименования: в первом случае — «клубнички», во втором — «части».

2. Сделай рисунки к задачам. Что ты замечаешь? Сделай вывод.

а)

Рисуем 4 группы (например, тарелки) и раскладываем в них 12 клубничек поровну. В каждой группе окажется по 3 клубнички.

(● ● ●) (● ● ●) (● ● ●) (● ● ●)

б)

Рисуем 12 клубничек и объединяем их в группы по 4 штуки. Считаем, сколько получилось групп. Получится 3 группы.

(● ● ● ●) (● ● ● ●) (● ● ● ●)

Вывод:

Задачи показывают два разных смысла действия деления. Хотя математическая запись ($12 \div 4 = 3$) одинакова, смысл и рисунки к задачам разные.

1. Деление на равные части (задача а): мы делим целое на известное количество частей, чтобы найти размер одной части.
2. Деление по содержанию (задача б): мы делим целое на известный размер одной части, чтобы найти количество таких частей.

Эти две задачи являются взаимно обратными по отношению к умножению.

3 Раздели отрезок:

а) на 2 равные части

б) по 2 единицы в каждой части

а) на 2 равные части

Для начала определим общую длину отрезка в условных единицах. На отрезке отмечено 10 одинаковых промежутков, следовательно, его общая длина составляет 10 единиц.

Чтобы разделить отрезок на 2 равные части, нужно его общую длину разделить на количество частей, то есть на 2.

Выполним вычисление:
$10 \div 2 = 5$ (единиц).

Это означает, что каждая из двух равных частей будет иметь длину 5 единиц. Для того чтобы разделить отрезок, необходимо отсчитать от его начала 5 единиц и поставить в этой точке отметку. Эта отметка и разделит отрезок пополам.

Ответ: Отрезок нужно разделить на две равные части, каждая длиной в 5 единиц.

б) по 2 единицы в каждой части

Длина второго отрезка также составляет 10 единиц.

Согласно условию, необходимо разделить этот отрезок на части, каждая из которых имеет длину 2 единицы. Чтобы найти, сколько всего получится таких частей, нужно общую длину отрезка разделить на длину одной части.

Выполним вычисление:
$10 \div 2 = 5$ (частей).

Таким образом, исходный отрезок будет разделен на 5 равных частей. Разделительные отметки нужно будет поставить через каждые 2 единицы, то есть после 2-й, 4-й, 6-й и 8-й единиц.

Ответ: Отрезок разделится на 5 частей, в каждой из которых будет по 2 единицы.

4 а) 10 литров сока разлили в 2-литровые банки. Сколько банок получилось?

б) 18 астр надо поставить в вазы по 9 штук в каждую. Сколько требуется ваз?

а)

Чтобы определить, сколько банок получилось, необходимо общий объем сока разделить на вместимость одной банки.

Общий объем сока составляет 10 литров, а каждая банка вмещает 2 литра.

Выполним деление: $10 \div 2 = 5$ (банок).

Ответ: 5 банок.

б)

Чтобы найти, сколько ваз требуется, нужно общее количество астр разделить на количество астр, которое помещается в одну вазу.

Всего есть 18 астр, и в каждую вазу нужно поставить по 9 штук.

Выполним деление: $18 \div 9 = 2$ (вазы).

Ответ: 2 вазы.

5 Запиши все трёхзначные числа, составленные из цифр $1, 2, 5$ (цифры в записи числа не повторяются).

⑤

Для того чтобы записать все трёхзначные числа, составленные из цифр 1, 2 и 5 без повторений, необходимо рассмотреть все возможные перестановки этих цифр. Мы можем систематически перебрать все варианты, ставя на первое место (в разряд сотен) поочерёдно каждую из трёх цифр.

1. Начнём с цифры 1 в разряде сотен. Оставшиеся цифры 2 и 5 могут стоять в разрядах десятков и единиц в двух комбинациях: 25 и 52. Таким образом, мы получаем числа 125 и 152.

2. Теперь поставим цифру 2 в разряд сотен. Оставшиеся цифры 1 и 5 можно расположить двумя способами: 15 и 51. Это даёт нам числа 215 и 251.

3. Наконец, поставим цифру 5 в разряд сотен. Из оставшихся цифр 1 и 2 можно составить комбинации 12 и 21. Получаем числа 512 и 521.

Общее количество таких чисел можно найти с помощью формулы для числа перестановок из трёх элементов: $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Мы нашли все 6 чисел.

Ответ: 125, 152, 215, 251, 512, 521.

1. Вычисли.

$70 \cdot 5 = $

$18 \cdot 3 = $

$34 : 8 = $

$240 : 6 = $

$64 : 4 = $

$57 : 9 = $

$450 : 90 = $

$98 : 14 = $

$41 : 5 = $

2. Составь программу действий и вычисли.

$420 : (20 \cdot 3) \cdot 80 - 36 \cdot 9 + 60 : (45 : 3) = $

3. Длина прямоугольника 24 см. Это в 4 раза больше его ширины. Найди периметр и площадь прямоугольника.

4*. Составь выражение к задаче.

Ира на свой день рождения пригласила 5 гостей. Для каждого из них она испекла c пирожков и d булочек. Сколько всего пирожков и булочек испекла Ира для гостей?

1. Вычисли.

$70 \cdot 5 = 350$

$240 : 6 = 40$

$450 : 90 = 5$

$18 \cdot 3 = 54$

$64 : 4 = 16$

$98 : 14 = 7$

$34 : 8 = 4$ (ост. 2)

$57 : 9 = 6$ (ост. 3)

$41 : 5 = 8$ (ост. 1)

Ответ: 350; 40; 5; 54; 16; 7; 4 (ост. 2); 6 (ост. 3); 8 (ост. 1).

2. Составь программу действий и вычисли.

Определим порядок действий в выражении $420 : (20 \cdot 3) \cdot 80 - 36 \cdot 9 + 60 : (45 : 3)$.

1. Сначала выполняются действия в скобках:

1) $20 \cdot 3 = 60$

2) $45 : 3 = 15$

2. Затем выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо):

3) $420 : 60 = 7$

4) $7 \cdot 80 = 560$

5) $36 \cdot 9 = 324$

6) $60 : 15 = 4$

3. Наконец, выполняются сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо):

7) $560 - 324 = 236$

8) $236 + 4 = 240$

Таким образом, значение выражения равно 240.

Ответ: 240.

3. Длина прямоугольника 24 см. Это в 4 раза больше его ширины. Найди периметр и площадь прямоугольника.

1. Сначала найдем ширину прямоугольника. По условию задачи, длина ($24 \text{ см}$) в 4 раза больше ширины. Следовательно, чтобы найти ширину, необходимо длину разделить на 4.

Ширина = $24 : 4 = 6 \text{ см}$.

2. Теперь найдем периметр прямоугольника. Периметр – это сумма длин всех сторон. Формула для вычисления периметра прямоугольника: $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

$P = 2 \cdot (24 + 6) = 2 \cdot 30 = 60 \text{ см}$.

3. Далее найдем площадь прямоугольника. Площадь – это произведение длины на ширину. Формула для вычисления площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

$S = 24 \cdot 6 = 144 \text{ см}^2$.

Ответ: периметр прямоугольника равен $60 \text{ см}$, а площадь – $144 \text{ см}^2$.

4*. Составь выражение к задаче.

В задаче говорится, что Ира пригласила 5 гостей. Для каждого гостя она испекла $c$ пирожков и $d$ булочек. Нам нужно найти общее количество выпечки.

Можно решить эту задачу двумя способами:

Способ 1: Сначала посчитать, сколько всего выпечки (пирожков и булочек) предназначено для одного гостя, а затем умножить это число на количество гостей.

Количество выпечки для одного гостя: $(c + d)$.

Общее количество для 5 гостей: $5 \cdot (c + d)$.

Способ 2: Сначала посчитать общее количество пирожков и общее количество булочек для всех гостей по отдельности, а затем сложить полученные результаты.

Общее количество пирожков: $5 \cdot c$.

Общее количество булочек: $5 \cdot d$.

Всего выпечки: $5 \cdot c + 5 \cdot d$.

Оба выражения являются верными и математически эквивалентны.

Ответ: $5 \cdot (c + d)$.

1. Вычисли.

$20 \cdot 9 = $

$360 : 6 = $

$490 : 70 = $

$17 \cdot 4 = $

$84 : 6 = $

$72 : 12 = $

$53 : 8 = $

$69 : 7 = $

$34 : 9 = $

2. Составь программу действий и вычисли.

$70 \cdot (15 - 6) - (640 : 8) : 5 + 6 \cdot (72 : 2) = $

3. Ширина прямоугольника 8 дм. Это в 4 раза меньше его длины. Найди периметр и площадь прямоугольника.

4*. Составь выражение к задаче.

У Маши было a конфет, у Кати – b конфет, у Саши – c конфет, а у Димы – d конфет. Они поделили их поровну. Сколько конфет получил каждый из них?

1. Вычисли.

$20 \cdot 9 = 180$. (Двадцать умножить на девять – это то же самое, что два умножить на девять и добавить ноль в конце).

$17 \cdot 4 = (10 + 7) \cdot 4 = 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4 = 40 + 28 = 68$.

$53 : 8$. Находим ближайшее к 53 число, которое делится на 8 без остатка. Это 48. $48 : 8 = 6$. Находим остаток: $53 - 48 = 5$. Результат: 6 и остаток 5.

$360 : 6 = 60$. (Так как $36 : 6 = 6$, и добавляем ноль в конце).

$84 : 6 = (60 + 24) : 6 = 60 : 6 + 24 : 6 = 10 + 4 = 14$.

$69 : 7$. Находим ближайшее к 69 число, которое делится на 7 без остатка. Это 63. $63 : 7 = 9$. Находим остаток: $69 - 63 = 6$. Результат: 9 и остаток 6.

$490 : 70 = 7$. (Так как $49 : 7 = 7$).

$72 : 12 = 6$. (Можно проверить умножением: $12 \cdot 6 = 72$).

$34 : 9$. Находим ближайшее к 34 число, которое делится на 9 без остатка. Это 27. $27 : 9 = 3$. Находим остаток: $34 - 27 = 7$. Результат: 3 и остаток 7.

Ответ: $180$; $68$; $6$ (ост. 5); $60$; $14$; $9$ (ост. 6); $7$; $6$; $3$ (ост. 7).

2. Составь программу действий и вычисли.

Выражение: $70 \cdot (15 - 6) - (640 : 8) : 5 + 6 \cdot (72 : 2)$.

Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце – сложение и вычитание слева направо.

Программа действий:

1. Вычитание в первых скобках: $15 - 6 = 9$.
2. Деление во вторых скобках: $640 : 8 = 80$.
3. Деление в третьих скобках: $72 : 2 = 36$.
4. Первое умножение: $70 \cdot 9 = 630$.
5. Деление результата из вторых скобок: $80 : 5 = 16$.
6. Второе умножение: $6 \cdot 36 = 216$.
7. Теперь выполняем вычитание и сложение с полученными результатами: $630 - 16 + 216$.
8. $630 - 16 = 614$.
9. $614 + 216 = 830$.

Ответ: 830.

3. Ширина прямоугольника 8 дм. Это в 4 раза меньше его длины. Найди периметр и площадь прямоугольника.

1. Находим длину прямоугольника. Если ширина в 4 раза меньше длины, то длина, наоборот, в 4 раза больше ширины.

Длина = $8 \text{ дм} \cdot 4 = 32 \text{ дм}$.

2. Находим периметр прямоугольника. Периметр – это сумма длин всех сторон. Используем формулу $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

$P = 2 \cdot (32 + 8) = 2 \cdot 40 = 80 \text{ дм}$.

3. Находим площадь прямоугольника. Используем формулу $S = a \cdot b$.

$S = 32 \cdot 8 = 256 \text{ дм}^2$.

Ответ: периметр прямоугольника 80 дм, площадь прямоугольника 256 дм².

4*. Составь выражение к задаче.

Для того чтобы составить выражение, необходимо определить последовательность действий.

1. Сначала нужно найти общее количество конфет у всех детей. Для этого мы складываем количество конфет каждого: Маши ($a$), Кати ($b$), Саши ($c$) и Димы ($d$).

Общее количество конфет: $a + b + c + d$.

2. Детей всего четверо. Они поделили все конфеты поровну.

3. Чтобы узнать, сколько конфет получил каждый, нужно общее количество конфет разделить на количество детей, то есть на 4.

Получаем выражение: $(a + b + c + d) : 4$.

Ответ: $(a + b + c + d) : 4$.