Номер 1, страница 102, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 39. Дерево возможностей. Часть 3 - номер 1, страница 102.

Условие 2023.

1. Сколькими способами можно разделить 10 одинаковых грибов между двумя ребятами?

Решение 2 (2023).

Это задача из области комбинаторики. Нам необходимо найти количество способов распределить 10 одинаковых (неразличимых) предметов (грибов) между 2 различными получателями (ребятами). Поскольку грибы одинаковы, важен лишь факт, сколько грибов достанется каждому.

Пусть первый ребенок получил $x_1$ грибов, а второй — $x_2$ грибов. Общее количество грибов равно 10, следовательно, мы можем составить уравнение:
$x_1 + x_2 = 10$.

В задаче не указано, что каждый должен получить хотя бы один гриб, поэтому допускается, что один из ребят может не получить ничего. Это означает, что $x_1$ и $x_2$ являются целыми неотрицательными числами ($x_1 \ge 0$, $x_2 \ge 0$). Таким образом, задача сводится к нахождению количества решений этого уравнения в целых неотрицательных числах.

Рассмотрим возможные варианты. Количество грибов у первого ребенка ($x_1$) может принимать любое целое значение от 0 до 10. При этом количество грибов у второго ребенка ($x_2$) будет однозначно определено по формуле $x_2 = 10 - x_1$.
Перечислим все возможные распределения (в виде пар $(x_1, x_2)$):
(0, 10), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1), (10, 0).
Подсчитав количество вариантов, получаем 11 способов.

Этот результат можно также получить с помощью стандартной комбинаторной формулы для задач такого типа (метод "шаров и перегородок"). У нас есть $n=10$ одинаковых "шаров" (грибов), которые нужно разложить по $k=2$ различным "ящикам" (ребятам). Для разделения на 2 группы требуется $k-1 = 1$ "перегородка". Задача сводится к определению числа способов расставить в ряд 10 шаров и 1 перегородку.
Всего имеется $10+1=11$ позиций, из которых нужно выбрать 1 позицию для перегородки. Число таких способов равно числу сочетаний с повторениями:
$\overline{C}_k^n = C_{n+k-1}^{k-1} = C_{10+2-1}^{2-1} = C_{11}^{1} = \frac{11!}{1!(11-1)!} = 11$.

Таким образом, существует 11 способов разделить 10 одинаковых грибов между двумя ребятами.

Ответ: 11.

Условие 2020-2022.

1. Сколькими способами можно разделить 10 одинаковых грибов между двумя ребятами?

Решение 2020-2022.