Номер 3, страница 42, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Акпаева, Лебедева

3. а) Из угла построенного тобой прямоугольника начерти окружность, радиус которой равен ширине прямоугольника. Закрась область пересечения фигур. Что является областью их объединения?

б) По центру листа начерти отрезок АВ длиной $\text{5}$ см. Из точки А построй окружность радиусом $\text{4}$ см, а из точки В – радиусом $\text{2}$ см. Закрась область объединения этих фигур.

а)

Задача состоит в том, чтобы из угла прямоугольника, как из центра, начертить окружность, радиус которой равен ширине этого прямоугольника. Далее требуется закрасить область пересечения и определить, что является областью объединения этих двух фигур.

1. Пересечение фигур: Область пересечения – это множество точек, принадлежащих одновременно и прямоугольнику, и кругу. Поскольку окружность строится из вершины прямоугольника, а угол прямоугольника является прямым ($90^\circ$), то область пересечения представляет собой сектор круга с центральным углом $90^\circ$. Такой сектор является четвертью круга. На рисунке к задаче эта область закрашена синим цветом.

2. Объединение фигур: Область объединения – это множество всех точек, которые принадлежат хотя бы одной из фигур (прямоугольнику или кругу). Таким образом, объединением является составная фигура, которая включает в себя весь прямоугольник и ту часть круга, которая находится за его пределами (оставшиеся три четверти круга).

Ответ: Областью пересечения фигур является сектор круга с углом $90^\circ$ (четверть круга). Областью их объединения является составная фигура, состоящая из всего прямоугольника и всего круга.

б)

В этой задаче необходимо начертить отрезок $AB$ длиной 5 см. Затем построить две окружности: одну с центром в точке $A$ и радиусом $r_A = 4$ см, и вторую с центром в точке $B$ и радиусом $r_B = 2$ см. Требуется закрасить область объединения этих фигур.

Сначала проанализируем взаимное расположение окружностей. Расстояние между центрами окружностей равно длине отрезка $AB$, то есть $d = 5$ см.

Сумма радиусов двух окружностей составляет: $r_A + r_B = 4 \text{ см} + 2 \text{ см} = 6$ см.

Разность радиусов по модулю составляет: $|r_A - r_B| = |4 \text{ см} - 2 \text{ см}| = 2$ см.

Поскольку расстояние между центрами $d = 5$ см удовлетворяет неравенству $|r_A - r_B| < d < r_A + r_B$ (так как $2 \text{ см} < 5 \text{ см} < 6 \text{ см}$), окружности пересекаются в двух точках.

Далее, согласно условию, нужно закрасить область объединения этих фигур. Объединение двух кругов — это фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат первому кругу, или второму кругу, или им обоим. Чтобы закрасить область объединения, нужно закрасить полностью оба круга. В результате получится фигура, состоящая из двух пересекающихся кругов.

Ответ: Нужно определить, что окружности пересекаются, проверив соотношение между расстоянием между центрами и радиусами ($|4-2| < 5 < 4+2$). Область объединения — это вся площадь, занимаемая обеими окружностями вместе. Для выполнения задания следует закрасить оба круга полностью.