Страница 55, часть 2 - гдз по математике 3 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Моро, Волкова

111 Вычислительная машина работает так.

□ → $ +8 - 3 $ → □

1) Дополни описание плана её работы.

В машину подаётся число.

Введённое число машина ________ на 8.

Из полученного ________.

Результат машина отправляет на выход.

2) Запиши, какое число будет получаться на выходе из машины, если в машину ввести число: 23; 48; 19; 56; 64; 77.

3) Запиши, какое число ввели в машину, если на выходе из машины получили число: 30; 43; 17; 26.

1) Дополни описание плана её работы.

Схема работы машины показывает, что она выполняет два последовательных действия с числом, которое в неё подаётся. Сначала она прибавляет 8 (операция $+8$), а затем из полученной суммы вычитает 3 (операция $-3$).

Исходя из этого, дополним описание плана работы машины:

В машину подаётся число.

Введённое число машина увеличивает на 8.

Из полученного результата вычитает 3.

Результат машина отправляет на выход.

Ответ: увеличивает; результата вычитает 3.

2) Запиши, какое число будет получаться на выходе из машины, если в машину ввести число: 23; 48; 19; 56; 64; 77.

Алгоритм работы машины можно упростить. Операция «прибавить 8, а затем вычесть 3» эквивалентна операции «прибавить 5», так как $8 - 3 = 5$. Таким образом, чтобы найти число на выходе, нужно к входному числу прибавить 5.

Выполним вычисления для каждого заданного числа:

Для 23: $23 + 5 = 28$

Для 48: $48 + 5 = 53$

Для 19: $19 + 5 = 24$

Для 56: $56 + 5 = 61$

Для 64: $64 + 5 = 69$

Для 77: $77 + 5 = 82$

Ответ: 28; 53; 24; 61; 69; 82.

3) Запиши, какое число ввели в машину, если на выходе из машины получили число: 30; 43; 17; 26.

Чтобы найти исходное число, зная результат, нужно выполнить обратную операцию. Так как машина прибавляет 5, обратная операция — это вычитание 5. Следовательно, из каждого числа на выходе нужно вычесть 5.

Выполним обратные вычисления для каждого заданного результата:

Если на выходе 30, то ввели: $30 - 5 = 25$

Если на выходе 43, то ввели: $43 - 5 = 38$

Если на выходе 17, то ввели: $17 - 5 = 12$

Если на выходе 26, то ввели: $26 - 5 = 21$

Ответ: 25; 38; 12; 21.

112 Подчеркни в каждом столбике лишнее выражение, не вычисляя их значений.

$8 \cdot 8$
$8 \cdot 7 - 7$
$8 \cdot 9 - 8$
$8 \cdot 7 + 8$

$7 \cdot 3 + 7$
$7 \cdot 4 + 4$
$7 \cdot 4$
$7 \cdot 5 - 7$

$9 \cdot 6 - 9$
$9 \cdot 6 - 6$
$9 \cdot 5$
$9 \cdot 4 + 9$

Проверь себя, вычислив значения остальных выражений.

Задача состоит в том, чтобы найти в каждом столбце выражение, значение которого отличается от остальных, не выполняя полных вычислений. Это можно сделать, приведя большинство выражений к одному виду с помощью распределительного свойства умножения.

Первый столбик

В этом столбце представлены выражения: $8 \cdot 8$, $8 \cdot 7 - 7$, $8 \cdot 9 - 8$, $8 \cdot 7 + 8$.

Проанализируем три из них, используя распределительное свойство умножения $a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c$:

• Выражение $8 \cdot 9 - 8$ можно представить как $8 \cdot 9 - 8 \cdot 1$, что равно $8 \cdot (9-1) = 8 \cdot 8$.
• Выражение $8 \cdot 7 + 8$ можно представить как $8 \cdot 7 + 8 \cdot 1$, что равно $8 \cdot (7+1) = 8 \cdot 8$.

Таким образом, выражения $8 \cdot 8$, $8 \cdot 9 - 8$ и $8 \cdot 7 + 8$ имеют одинаковое значение. Выражение $8 \cdot 7 - 7$ нельзя преобразовать к виду $8 \cdot 8$, поэтому оно является лишним.

Проверка:

Вычислим значения остальных выражений:

• $8 \cdot 8 = 64$
• $8 \cdot 9 - 8 = 72 - 8 = 64$
• $8 \cdot 7 + 8 = 56 + 8 = 64$

Все значения равны 64. Значение лишнего выражения: $8 \cdot 7 - 7 = 56 - 7 = 49$.

Ответ: Лишнее выражение $8 \cdot 7 - 7$.

Второй столбик

Выражения: $7 \cdot 3 + 7$, $7 \cdot 4 + 4$, $7 \cdot 4$, $7 \cdot 5 - 7$.

Преобразуем выражения, чтобы сравнить их с $7 \cdot 4$:

• $7 \cdot 3 + 7 = 7 \cdot 3 + 7 \cdot 1 = 7 \cdot (3+1) = 7 \cdot 4$.
• $7 \cdot 5 - 7 = 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1 = 7 \cdot (5-1) = 7 \cdot 4$.

Выражения $7 \cdot 3 + 7$, $7 \cdot 4$ и $7 \cdot 5 - 7$ имеют одинаковое значение. Выражение $7 \cdot 4 + 4$ отличается от них, так как к произведению $7 \cdot 4$ прибавляется 4, а не 7, и его нельзя привести к виду $7 \cdot k$ (где k - целое число) с помощью распределительного закона.

Проверка:

Вычислим значения остальных выражений:

• $7 \cdot 3 + 7 = 21 + 7 = 28$
• $7 \cdot 4 = 28$
• $7 \cdot 5 - 7 = 35 - 7 = 28$

Все значения равны 28. Значение лишнего выражения: $7 \cdot 4 + 4 = 28 + 4 = 32$.

Ответ: Лишнее выражение $7 \cdot 4 + 4$.

Третий столбик

Выражения: $9 \cdot 6 - 9$, $9 \cdot 6 - 6$, $9 \cdot 5$, $9 \cdot 4 + 9$.

Преобразуем выражения, чтобы сравнить их с $9 \cdot 5$:

• $9 \cdot 6 - 9 = 9 \cdot 6 - 9 \cdot 1 = 9 \cdot (6-1) = 9 \cdot 5$.
• $9 \cdot 4 + 9 = 9 \cdot 4 + 9 \cdot 1 = 9 \cdot (4+1) = 9 \cdot 5$.

Выражения $9 \cdot 6 - 9$, $9 \cdot 5$ и $9 \cdot 4 + 9$ имеют одинаковое значение. Выражение $9 \cdot 6 - 6$ является лишним.

Проверка:

Вычислим значения остальных выражений:

• $9 \cdot 6 - 9 = 54 - 9 = 45$
• $9 \cdot 5 = 45$
• $9 \cdot 4 + 9 = 36 + 9 = 45$

Все значения равны 45. Значение лишнего выражения: $9 \cdot 6 - 6 = 54 - 6 = 48$.

Ответ: Лишнее выражение $9 \cdot 6 - 6$.

49 $40 \circ 30 = 50 \circ 5$

$32 \circ 4 = 25 \circ 17$

$8 \circ 6 = 90 \circ 42$

$7 \circ 5 = 70 \circ 2$

40 ◯ 30 = 50 ◯ 5
Чтобы равенство было верным, значения левой и правой частей должны совпадать. Для этого необходимо подобрать правильные арифметические знаки и вставить их в пустые кружки.
Проверим левую часть: если использовать знак "минус", получим $40 - 30 = 10$.
Проверим правую часть: если использовать знак "деление", получим $50 : 5 = 10$.
Так как $10 = 10$, равенство верно. В первый кружок нужно вставить знак "-", а во второй — ":".
Ответ: $40 - 30 = 50 : 5$

8 ◯ 6 = 90 ◯ 42
Подберем знаки так, чтобы значения выражений в обеих частях равенства были равны.
Проверим левую часть: если использовать знак "умножение", получим $8 \cdot 6 = 48$.
Проверим правую часть: если использовать знак "минус", получим $90 - 42 = 48$.
Так как $48 = 48$, равенство верно. В первый кружок нужно вставить знак "$\cdot$", а во второй — "-".
Ответ: $8 \cdot 6 = 90 - 42$

32 ◯ 4 = 25 ◯ 17
Чтобы равенство было верным, значения левой и правой частей должны совпадать.
Проверим левую часть: если использовать знак "деление", получим $32 : 4 = 8$.
Проверим правую часть: если использовать знак "минус", получим $25 - 17 = 8$.
Так как $8 = 8$, равенство верно. В первый кружок нужно вставить знак ":", а во второй — "-".
Ответ: $32 : 4 = 25 - 17$

7 ◯ 5 = 70 ◯ 2
Подберем знаки так, чтобы значения выражений в обеих частях равенства были равны.
Проверим левую часть: если использовать знак "умножение", получим $7 \cdot 5 = 35$.
Проверим правую часть: если использовать знак "деление", получим $70 : 2 = 35$.
Так как $35 = 35$, равенство верно. В первый кружок нужно вставить знак "$\cdot$", а во второй — ":".
Ответ: $7 \cdot 5 = 70 : 2$

50 □

$ \begin{array}{r} \dots 8 \\ - \quad 9 \\ \hline 45 \end{array} $

$ \begin{array}{r} \dots 4 \\ + \quad 3 \\ \hline 5 \end{array} $

$ \begin{array}{r} \dots 8 \\ + \quad \quad \\ \hline 32 \end{array} $

$ \begin{array}{r} \dots 1 \\ - 69 \\ \hline 1 \end{array} $

$ \begin{array}{r} \dots 6 \\ - \quad 3 \\ \hline 48 \end{array} $

В представленном изображении содержатся пять математических примеров с пропущенными цифрами. Четыре из пяти примеров в их исходном виде не имеют решения, так как содержат арифметические ошибки. Ниже представлено развернутое решение для каждого примера, включая анализ ошибки и ее наиболее вероятное исправление.

Задан пример на вычитание в столбик: $$ \begin{array}{r} \_8 \\- \quad \_9 \\\hline 45 \end{array} $$ Обозначим неизвестные цифры как $A$ и $B$, тогда пример можно записать в виде $A8 - B9 = 45$. При вычитании в столбик в разряде единиц мы выполняем действие $8 - 9$. Так как $8 < 9$, необходимо занять единицу из старшего разряда (десятки). Вычисление принимает вид $18 - 9 = 9$. Таким образом, результат в разряде единиц должен быть 9, а в примере указано 5. Это означает, что в условии примера допущена ошибка.

Наиболее вероятной является опечатка в одной из цифр. Предположим, что цифра 9 во втором числе на самом деле является цифрой 3. В этом случае пример становится решаемым: $A8 - B3 = 45$.
1. Разряд единиц: $8 - 3 = 5$. Этот результат совпадает с условием.
2. Разряд десятков: $A - B = 4$. Этому условию удовлетворяет несколько пар цифр. Например, если $A=5$, то $B=1$. Подставим эти значения в пример: $58 - 13 = 45$. Решение верное.

Ответ: $58 - 13 = 45$.

Задан пример на сложение в столбик: $$ \begin{array}{r} \_4 \\+ \quad 37 \\\hline \_5 \end{array} $$ Обозначим неизвестные цифры как $A$ и $B$: $A4 + 37 = B5$. Рассмотрим разряд единиц: $4 + 7 = 11$. Это означает, что последняя цифра суммы должна быть 1, а в примере указана 5. Следовательно, в условии примера также содержится ошибка.

Предположим, что ошибка в цифре 4 первого слагаемого, и на самом деле это цифра 8. Тогда пример примет вид: $A8 + 37 = B5$.
1. Разряд единиц: $8 + 7 = 15$. Последняя цифра суммы — 5, что совпадает с условием. Единицу переносим в разряд десятков.
2. Разряд десятков: $A + 3 + 1 = B$, или $A + 4 = B$. Выберем один из возможных вариантов, например, $A=1$. Тогда $B = 1 + 4 = 5$. Получаем $18 + 37 = 55$.

Ответ: $18 + 37 = 55$.

Задан пример: $$ \begin{array}{r} 8 \\+ \quad \_\_ \\\hline 32 \end{array} $$ Это уравнение можно записать как $8 + X = 32$, где $X$ — неизвестное двузначное число. Чтобы найти $X$, вычтем 8 из 32: $X = 32 - 8 = 24$. Таким образом, пропущенное число — 24.

Ответ: $8 + 24 = 32$.

Задан пример на вычитание: $$ \begin{array}{r} \_\_1 \\- \quad 69 \\\hline \_1 \end{array} $$ Обозначим неизвестные цифры: $AB1 - 69 = C1$. В разряде единиц: $1 - 9$. Необходимо занять из старшего разряда: $11 - 9 = 2$. Результат в разряде единиц должен быть 2, а в примере указан 1. Следовательно, в условии примера содержится ошибка.

Наиболее вероятной кажется ошибка в последней цифре результата. Если предположить, что она должна быть 2, а не 1, то пример примет вид: $AB1 - 69 = C2$.
1. Разряд единиц: $11 - 9 = 2$. Мы заняли 1 из разряда десятков.
2. Разряд десятков: $(B-1) - 6 = C$. Так как в результате получается двузначное число, то из разряда сотен ($A$) также был заимствован разряд. Положим $A=1$. Тогда вычисление для десятков: $(10 + B - 1) - 6 = C$, или $B + 3 = C$.
3. Разряд сотен: $A-1=0$, что подтверждает, что $A=1$. Для нахождения $B$ и $C$ выберем простейший вариант: пусть $B=0$. Тогда $C = 0+3=3$. Получаем пример: $101 - 69 = 32$.

Ответ: $101 - 69 = 32$.

Задан пример на вычитание: $$ \begin{array}{r} \_6 \\- \quad \_3 \\\hline 48 \end{array} $$ Обозначим неизвестные цифры: $A6 - B3 = 48$. В разряде единиц: $6 - 3 = 3$. Результат в разряде единиц должен быть 3, а в примере указан 8. Следовательно, в условии примера содержится ошибка.

Предположим, что цифра 3 в вычитаемом на самом деле является цифрой 8. Тогда пример: $A6 - B8 = 48$.
1. Разряд единиц: $6 - 8$. Занимаем из старшего разряда: $16 - 8 = 8$. Это соответствует результату.
2. Разряд десятков: $(A-1) - B = 4$, или $A - B = 5$. Выберем один из вариантов, например, $A=6$ и $B=1$. Получаем пример: $66 - 18 = 48$.

Ответ: $66 - 18 = 48$.

51 Вычисли, объясняя, как надо рассуждать в каждом случае.

1) $358 + 286$ $579 + 343$ $316 + 294$ $436 + 177$

2) $527 - 143$ $715 - 342$ $673 - 248$ $831 - 643$

Пример 1: $358 + 286$
Выполняем сложение в столбик, начиная с разряда единиц.
Складываем единицы: $8 + 6 = 14$. 14 единиц – это 1 десяток и 4 единицы. Пишем 4 под единицами, а 1 десяток запоминаем (переносим в разряд десятков).
Складываем десятки: $5 + 8 = 13$. Прибавляем 1 десяток, который мы запомнили: $13 + 1 = 14$. 14 десятков – это 1 сотня и 4 десятка. Пишем 4 под десятками, а 1 сотню запоминаем (переносим в разряд сотен).
Складываем сотни: $3 + 2 = 5$. Прибавляем 1 сотню, которую мы запомнили: $5 + 1 = 6$. Пишем 6 под сотнями.
Результат: 644.
Ответ: 644

Пример 2: $579 + 343$
Складываем единицы: $9 + 3 = 12$. Пишем 2 под единицами, 1 десяток переносим в следующий разряд.
Складываем десятки: $7 + 4 = 11$. Прибавляем перенесенный десяток: $11 + 1 = 12$. Пишем 2 под десятками, 1 сотню переносим в следующий разряд.
Складываем сотни: $5 + 3 = 8$. Прибавляем перенесенную сотню: $8 + 1 = 9$. Пишем 9 под сотнями.
Результат: 922.
Ответ: 922

Пример 3: $316 + 294$
Складываем единицы: $6 + 4 = 10$. Пишем 0 под единицами, 1 десяток переносим.
Складываем десятки: $1 + 9 = 10$. Прибавляем перенесенный десяток: $10 + 1 = 11$. Пишем 1 под десятками, 1 сотню переносим.
Складываем сотни: $3 + 2 = 5$. Прибавляем перенесенную сотню: $5 + 1 = 6$. Пишем 6 под сотнями.
Результат: 610.
Ответ: 610

Пример 4: $436 + 177$
Складываем единицы: $6 + 7 = 13$. Пишем 3 под единицами, 1 десяток переносим.
Складываем десятки: $3 + 7 = 10$. Прибавляем перенесенный десяток: $10 + 1 = 11$. Пишем 1 под десятками, 1 сотню переносим.
Складываем сотни: $4 + 1 = 5$. Прибавляем перенесенную сотню: $5 + 1 = 6$. Пишем 6 под сотнями.
Результат: 613.
Ответ: 613

Пример 1: $527 - 143$
Выполняем вычитание в столбик, начиная с разряда единиц.
Вычитаем единицы: $7 - 3 = 4$. Пишем 4 под единицами.
Вычитаем десятки: из 2 нельзя вычесть 4. Занимаем 1 сотню (10 десятков) из разряда сотен. Теперь у нас $10 + 2 = 12$ десятков. $12 - 4 = 8$. Пишем 8 под десятками. В разряде сотен осталось $5 - 1 = 4$ сотни.
Вычитаем сотни: $4 - 1 = 3$. Пишем 3 под сотнями.
Результат: 384.
Ответ: 384

Пример 2: $715 - 342$
Вычитаем единицы: $5 - 2 = 3$. Пишем 3 под единицами.
Вычитаем десятки: из 1 нельзя вычесть 4. Занимаем 1 сотню (10 десятков) из разряда сотен. Получаем $10 + 1 = 11$ десятков. $11 - 4 = 7$. Пишем 7 под десятками. В разряде сотен осталось $7 - 1 = 6$ сотен.
Вычитаем сотни: $6 - 3 = 3$. Пишем 3 под сотнями.
Результат: 373.
Ответ: 373

Пример 3: $673 - 248$
Вычитаем единицы: из 3 нельзя вычесть 8. Занимаем 1 десяток из разряда десятков. Получаем $10 + 3 = 13$ единиц. $13 - 8 = 5$. Пишем 5 под единицами. В разряде десятков осталось $7 - 1 = 6$ десятков.
Вычитаем десятки: $6 - 4 = 2$. Пишем 2 под десятками.
Вычитаем сотни: $6 - 2 = 4$. Пишем 4 под сотнями.
Результат: 425.
Ответ: 425

Пример 4: $831 - 643$
Вычитаем единицы: из 1 нельзя вычесть 3. Занимаем 1 десяток. Получаем $10 + 1 = 11$ единиц. $11 - 3 = 8$. Пишем 8 под единицами. В разряде десятков осталось $3 - 1 = 2$ десятка.
Вычитаем десятки: из 2 нельзя вычесть 4. Занимаем 1 сотню (10 десятков). Получаем $10 + 2 = 12$ десятков. $12 - 4 = 8$. Пишем 8 под десятками. В разряде сотен осталось $8 - 1 = 7$ сотен.
Вычитаем сотни: $7 - 6 = 1$. Пишем 1 под сотнями.
Результат: 188.
Ответ: 188

52 С трёх яблонь собрали 120 кг яблок. С первой яблони собрали 48 кг, а со второй – 24 кг. Сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони?

Для того чтобы узнать, сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони, нужно из общего количества собранных яблок вычесть количество яблок, собранных с первой и второй яблонь.

1. Сначала найдем, сколько килограммов яблок собрали с первой и второй яблонь вместе. Для этого сложим массу яблок, собранных с каждой из них:

$48 + 24 = 72$ (кг)

Таким образом, с первых двух яблонь было собрано 72 кг яблок.

2. Теперь вычтем эту массу из общего количества яблок, чтобы найти, сколько килограммов было собрано с третьей яблони:

$120 - 72 = 48$ (кг)

Эту же задачу можно решить одним выражением, вычитая из общего количества массу яблок с первой и второй яблонь:

$120 - (48 + 24) = 120 - 72 = 48$ (кг)

Ответ: 48 кг.