Страница 14, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. Рассмотри чертёж. Начерти в тетради такой же квадрат. Закрась все треугольники в 2 цвета: зелёный и жёлтый. Выполни это по-разному. Найди 6 решений.

Задача состоит в том, чтобы найти 6 различных способов раскрасить 4 треугольника, на которые квадрат разделен диагоналями, используя два цвета: зелёный и жёлтый. При этом должны использоваться оба цвета.

Наиболее вероятная интерпретация условия "найди 6 решений" заключается в поиске всех вариантов, когда ровно два треугольника окрашены в один цвет, а два других — в другой. Количество способов выбрать 2 треугольника из 4 для покраски, например, в зелёный цвет (оставшиеся 2 будут жёлтыми), можно найти с помощью формулы сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество элементов (у нас 4 треугольника), а $k$ — количество выбираемых элементов (у нас 2 треугольника зелёного цвета).

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6$

Таким образом, существует ровно 6 таких комбинаций. Они делятся на два типа: когда окрашены противоположные треугольники и когда окрашены смежные (соседние) треугольники. Ниже представлены все 6 решений.

Решение 1

Окрашиваем два противоположных треугольника (верхний и нижний) в зелёный цвет, а два других (левый и правый) — в жёлтый.

Ответ: Верхний и нижний треугольники — зелёные, левый и правый — жёлтые.

Решение 2

Окрашиваем два других противоположных треугольника (левый и правый) в зелёный цвет, а оставшиеся (верхний и нижний) — в жёлтый.

Ответ: Левый и правый треугольники — зелёные, верхний и нижний — жёлтые.

Решение 3

Окрашиваем два смежных треугольника (верхний и правый) в зелёный цвет, а два других — в жёлтый.

Ответ: Верхний и правый треугольники — зелёные, нижний и левый — жёлтые.

Решение 4

Окрашиваем два смежных треугольника (правый и нижний) в зелёный цвет, а два других — в жёлтый.

Ответ: Правый и нижний треугольники — зелёные, верхний и левый — жёлтые.

Решение 5

Окрашиваем два смежных треугольника (нижний и левый) в зелёный цвет, а два других — в жёлтый.

Ответ: Нижний и левый треугольники — зелёные, верхний и правый — жёлтые.

Решение 6

Окрашиваем два смежных треугольника (левый и верхний) в зелёный цвет, а два других — в жёлтый.

Ответ: Левый и верхний треугольники — зелёные, правый и нижний — жёлтые.

2. Нарисуй в тетради узор из заданных фигур так, чтобы одинаковые по форме фигуры не стояли рядом и первым был нарисован прямоугольник.

Решение

В задании даны четыре фигуры: два прямоугольника (один поменьше, другой побольше) и два треугольника (один маленький, другой большой). Необходимо расположить их в ряд по определённым правилам.

Правила следующие:
1. Узор должен начинаться с прямоугольника.
2. Фигуры одинаковой формы не должны стоять рядом. Это значит, что за прямоугольником должен следовать треугольник, а за треугольником — прямоугольник.

Исходя из этих правил, общая схема узора будет выглядеть так: Прямоугольник - Треугольник - Прямоугольник - Треугольник.

Теперь нужно расставить конкретные фигуры (большие и маленькие) в соответствии с этой схемой. Мы можем начать либо с большого, либо с маленького прямоугольника. Для каждого из этих двух начальных вариантов есть два способа расположить треугольники. В итоге получается четыре возможных правильных решения.

Ответ:

Ниже представлены четыре возможных варианта узора, которые удовлетворяют всем условиям задачи.

Вариант 1: Начинаем с маленького прямоугольника, затем большой треугольник.


Вариант 2: Начинаем с маленького прямоугольника, затем маленький треугольник.


Вариант 3: Начинаем с большого прямоугольника, затем большой треугольник.


Вариант 4: Начинаем с большого прямоугольника, затем маленький треугольник.

3. У Димы и Сергея разное количество тетрадей. Если Дима отдаст одну тетрадь Сергею, то у них тетрадей станет поровну. Если Сергей отдаст Диме одну тетрадь, то у Димы станет в 2 раза больше тетрадей, чем у Сергея. Сколько тетрадей у каждого мальчика? Запиши только ответ.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $d$ — это количество тетрадей у Димы, а $s$ — количество тетрадей у Сергея.

Исходя из первого условия, если Дима отдаст одну тетрадь Сергею, то у них тетрадей станет поровну. Это можно записать в виде уравнения:
$d - 1 = s + 1$

Исходя из второго условия, если Сергей отдаст одну тетрадь Диме, то у Димы станет в 2 раза больше тетрадей, чем у Сергея. Это можно записать в виде второго уравнения:
$d + 1 = 2 \cdot (s - 1)$

Теперь решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases} d - 1 = s + 1 \\ d + 1 = 2(s - 1) \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную $d$:
$d = s + 1 + 1$
$d = s + 2$
Подставим это выражение для $d$ во второе уравнение:
$(s + 2) + 1 = 2(s - 1)$
$s + 3 = 2s - 2$
Теперь найдем значение $s$:
$3 + 2 = 2s - s$
$s = 5$
Итак, у Сергея 5 тетрадей.
Чтобы найти, сколько тетрадей у Димы, подставим значение $s$ в выражение $d = s + 2$:
$d = 5 + 2$
$d = 7$
У Димы 7 тетрадей.

Проверим решение:
Изначально: у Димы 7 тетрадей, у Сергея 5.
1. Дима отдает 1 тетрадь Сергею: у Димы остается $7 - 1 = 6$, у Сергея становится $5 + 1 = 6$. У них поровну. Верно.
2. Сергей отдает 1 тетрадь Диме: у Димы становится $7 + 1 = 8$, у Сергея остается $5 - 1 = 4$. У Димы в два раза больше, чем у Сергея ($8 = 2 \cdot 4$). Верно.

Ответ: у Димы 7 тетрадей, у Сергея 5 тетрадей.

4. Найди правило, по которому из двух чисел, записанных в нижних рамках, получено число, записанное в верхней рамке. По этому правилу запиши недостающее число.

1. Нахождение правила
Для того чтобы определить правило, по которому число в верхней рамке получается из двух чисел в нижних, рассмотрим первые два примера.

Пример 1:
Нижние числа: 29 и 25. Верхнее число: 12.
Найдем разность нижних чисел: $29 - 25 = 4$.
Результат (4) отличается от верхнего числа (12). Заметим, что $4 \times 3 = 12$.

Пример 2:
Нижние числа: 38 и 33. Верхнее число: 15.
Проверим, работает ли здесь та же логика. Найдем разность нижних чисел: $38 - 33 = 5$.
Теперь умножим полученную разность на 3: $5 \times 3 = 15$.
Результат совпадает с числом в верхней рамке.

Следовательно, мы нашли правило: нужно найти разность двух чисел в нижних рамках и умножить ее на 3, чтобы получить число в верхней рамке.
Ответ: Правило состоит в том, чтобы найти разность чисел из нижних рамок и умножить полученный результат на 3.

2. Вычисление недостающего числа
Теперь используем найденное правило для третьего случая, чтобы найти неизвестное число.

Пример 3:
Нижние числа: 59 и 52. Верхнее число: ?
1. Находим разность нижних чисел: $59 - 52 = 7$.
2. Умножаем результат на 3: $7 \times 3 = 21$.
Таким образом, недостающее число в верхней рамке — это 21.
Ответ: 21.

1. Замени число 72 суммой таких двух слагаемых, чтобы его легко можно было разделить на 4, 3, 6.

Чтобы заменить число 72 суммой двух слагаемых для легкого деления на 4, 3 и 6, необходимо найти два числа (обозначим их $a$ и $b$), которые удовлетворяют двум условиям:

• Их сумма равна 72: $a + b = 72$.
• Каждое из них легко делится на 4, 3 и 6.

Для того чтобы число делилось одновременно на 4, 3 и 6, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Найдем НОК этих чисел.

Разложим числа на простые множители:

• $4 = 2^2$
• $3 = 3$
• $6 = 2 \cdot 3$

НОК находится как произведение всех простых множителей в их наивысших степенях, которые встречаются в разложениях: $НОК(4, 3, 6) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Следовательно, оба слагаемых должны быть кратны 12. Теперь нам нужно найти два числа, кратных 12, сумма которых равна 72. Существует несколько таких пар:

• $12 + 60 = 72$
• $24 + 48 = 72$
• $36 + 36 = 72$

Любая из этих пар является решением задачи. Проверим, как это работает на примере суммы $60 + 12$:

• Деление на 4: $72 \div 4 = (60 + 12) \div 4 = 60 \div 4 + 12 \div 4 = 15 + 3 = 18$.
• Деление на 3: $72 \div 3 = (60 + 12) \div 3 = 60 \div 3 + 12 \div 3 = 20 + 4 = 24$.
• Деление на 6: $72 \div 6 = (60 + 12) \div 6 = 60 \div 6 + 12 \div 6 = 10 + 2 = 12$.

Как видно, такое представление числа 72 действительно упрощает деление на все три указанных числа.

Ответ: Число 72 можно заменить одной из следующих сумм: $60 + 12$, $48 + 24$ или $36 + 36$.

84 : 6
Для решения этого примера разложим делимое 84 на сумму удобных слагаемых, каждое из которых делится на 6. Например, $84 = 60 + 24$. Теперь разделим каждое слагаемое на 6 и сложим результаты: $84 : 6 = (60 + 24) : 6 = 60 : 6 + 24 : 6 = 10 + 4 = 14$.
Ответ: 14

57 : 3
Чтобы разделить 57 на 3, представим 57 в виде суммы слагаемых, которые легко делятся на 3, например, 30 и 27. Тогда: $57 : 3 = (30 + 27) : 3 = 30 : 3 + 27 : 3 = 10 + 9 = 19$.
Ответ: 19

91 : 7
Разложим 91 на сумму удобных слагаемых $70$ и $21$, так как оба числа делятся на 7. Получаем: $91 : 7 = (70 + 21) : 7 = 70 : 7 + 21 : 7 = 10 + 3 = 13$.
Ответ: 13

3 · 18
Для вычисления произведения воспользуемся распределительным свойством умножения. Представим 18 как сумму $10 + 8$: $3 \cdot 18 = 3 \cdot (10 + 8) = 3 \cdot 10 + 3 \cdot 8 = 30 + 24 = 54$.
Ответ: 54

4 · 17
Чтобы умножить 4 на 17, представим 17 в виде суммы $10 + 7$ и применим распределительное свойство: $4 \cdot 17 = 4 \cdot (10 + 7) = 4 \cdot 10 + 4 \cdot 7 = 40 + 28 = 68$.
Ответ: 68

6 · 13
Для нахождения произведения 6 и 13 разложим 13 на сумму $10 + 3$ и умножим 6 на каждое слагаемое: $6 \cdot 13 = 6 \cdot (10 + 3) = 6 \cdot 10 + 6 \cdot 3 = 60 + 18 = 78$.
Ответ: 78

86 : 2
Разложим 86 на сумму $80 + 6$. Разделим каждое слагаемое на 2 и сложим результаты: $86 : 2 = (80 + 6) : 2 = 80 : 2 + 6 : 2 = 40 + 3 = 43$.
Ответ: 43

60 : 4
Представим 60 как сумму удобных слагаемых, делящихся на 4, например $40$ и $20$: $60 : 4 = (40 + 20) : 4 = 40 : 4 + 20 : 4 = 10 + 5 = 15$.
Ответ: 15

93 : 3
Разложим 93 на сумму $90 + 3$. Разделим каждое слагаемое на 3: $93 : 3 = (90 + 3) : 3 = 90 : 3 + 3 : 3 = 30 + 1 = 31$.
Ответ: 31

68 : 2
Представим 68 как сумму $60 + 8$. Выполним деление: $68 : 2 = (60 + 8) : 2 = 60 : 2 + 8 : 2 = 30 + 4 = 34$.
Ответ: 34

96 : 3
Разложим 96 на сумму удобных слагаемых $90$ и $6$: $96 : 3 = (90 + 6) : 3 = 90 : 3 + 6 : 3 = 30 + 2 = 32$.
Ответ: 32

88 : 4
Разложим 88 на сумму $80 + 8$: $88 : 4 = (80 + 8) : 4 = 80 : 4 + 8 : 4 = 20 + 2 = 22$.
Ответ: 22

3. В 5 корзин разложили 32 кг винограда так, что в четырёх корзинах оказалось по 6 кг винограда. Сколько килограммов винограда в пятой корзине?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия.

1. Сначала определим, сколько всего килограммов винограда лежит в четырех корзинах. В условии сказано, что в каждой из этих корзин по 6 кг винограда. Умножим количество корзин на массу винограда в каждой из них:
$4 \times 6 = 24$ (кг)

Итак, в четырех корзинах находится 24 кг винограда.

2. Теперь найдем, сколько килограммов винограда в пятой корзине. Для этого из общей массы винограда (32 кг) вычтем массу винограда, находящегося в четырех корзинах (24 кг):
$32 - 24 = 8$ (кг)

Ответ: 8 кг.

4. Пассажир отдал в кассу деньги для покупки билетов. Сколько сдачи он должен получить?

Дополни условие необходимыми данными, составь задачу и реши её.

В исходной задаче недостаточно данных для ответа на вопрос. Чтобы её решить, необходимо дополнить условие конкретными числовыми значениями.

Дополненное условие задачи:

Пассажир отдал в кассу купюру номиналом 5000 рублей для покупки 3 билетов. Цена одного билета составляет 1350 рублей. Сколько сдачи он должен получить?

Решение:

1. Сначала вычислим общую стоимость всех билетов. Для этого нужно умножить количество билетов на цену одного билета:
$3 \times 1350 = 4050$ (рублей) — общая стоимость билетов.

2. Теперь найдем размер сдачи. Для этого из суммы, которую пассажир отдал в кассу, вычтем общую стоимость билетов:
$5000 - 4050 = 950$ (рублей) — сумма сдачи.

Ответ: пассажир должен получить 950 рублей сдачи.

39 : 3 · 4
В выражениях без скобок действия умножения и деления имеют одинаковый приоритет и выполняются по порядку слева направо.
1. Первое действие – деление: $39 : 3 = 13$.
2. Второе действие – умножение: $13 \cdot 4 = 52$.
Ответ: 52

64 : 2 · 3
Аналогично предыдущему примеру, действия выполняются слева направо.
1. Первое действие – деление: $64 : 2 = 32$.
2. Второе действие – умножение: $32 \cdot 3 = 96$.
Ответ: 96

48 : 4 · 8
Действия умножения и деления выполняются в порядке их следования слева направо.
1. Первое действие – деление: $48 : 4 = 12$.
2. Второе действие – умножение: $12 \cdot 8 = 96$.
Ответ: 96

100 - 3 · 4
Согласно правилам порядка выполнения арифметических операций, сначала выполняется умножение (действие второй ступени), а затем вычитание (действие первой ступени).
1. Первое действие – умножение: $3 \cdot 4 = 12$.
2. Второе действие – вычитание: $100 - 12 = 88$.
Ответ: 88

6 · 9 + 48 : 6
Сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), а затем действие первой ступени (сложение).
1. Первое действие – умножение: $6 \cdot 9 = 54$.
2. Второе действие – деление: $48 : 6 = 8$.
3. Третье действие – сложение: $54 + 8 = 62$.
Ответ: 62

66 : 3 · 2 - 5
Сначала последовательно слева направо выполняются деление и умножение, а затем — вычитание.
1. Первое действие – деление: $66 : 3 = 22$.
2. Второе действие – умножение: $22 \cdot 2 = 44$.
3. Третье действие – вычитание: $44 - 5 = 39$.
Ответ: 39

84 - (48 + 26)
Первым делом всегда выполняется действие в скобках.
1. Первое действие – сложение в скобках: $48 + 26 = 74$.
2. Второе действие – вычитание: $84 - 74 = 10$.
Ответ: 10

23 + (75 - 48)
Сначала необходимо вычислить значение выражения в скобках, а затем выполнить сложение.
1. Первое действие – вычитание в скобках: $75 - 48 = 27$.
2. Второе действие – сложение: $23 + 27 = 50$.
Ответ: 50

53 - (53 - 40)
Вычисляем выражение в скобках, а затем выполняем вычитание из числа, стоящего перед скобками.
1. Первое действие – вычитание в скобках: $53 - 40 = 13$.
2. Второе действие – вычитание: $53 - 13 = 40$.
Ответ: 40

6. Найди и сравни длины ломаных.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти длину каждой ломаной линии, а затем сравнить полученные значения.

Длина ломаной линии — это сумма длин всех отрезков (звеньев), из которых она состоит.

Так как на изображении не представлены сами ломаные, решим задачу на конкретном примере. Предположим, у нас есть две ломаные.

Нахождение длин ломаных

Первая ломаная состоит из трёх звеньев длиной 6 см, 2 см и 4 см.

Её общая длина ($L_1$) будет равна сумме длин этих звеньев:

$L_1 = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Вторая ломаная состоит из двух звеньев длиной 7 см и 6 см.

Её общая длина ($L_2$) будет равна сумме длин этих звеньев:

$L_2 = 7 \text{ см} + 6 \text{ см} = 13 \text{ см}$

Ответ: Длина первой ломаной — 12 см, длина второй ломаной — 13 см.

Сравнение длин ломаных

Теперь сравним найденные длины: $L_1 = 12 \text{ см}$ и $L_2 = 13 \text{ см}$.

$12 \text{ см} < 13 \text{ см}$

Мы видим, что длина второй ломаной больше длины первой. Чтобы узнать, на сколько именно она длиннее, нужно из большей длины вычесть меньшую:

$13 \text{ см} - 12 \text{ см} = 1 \text{ см}$

Ответ: Вторая ломаная длиннее первой на 1 см.

7. 1) Найди в многоугольниках прямые, острые и тупые углы. Выпиши их названия.

2) Запиши название симметричной фигуры.

1) Для определения типа углов в многоугольниках сравним их с прямым углом, который равен $90^\circ$. Острый угол меньше прямого ($< 90^\circ$), а тупой угол — больше прямого ($> 90^\circ$).

Проанализируем углы в каждой фигуре:

• В пятиугольнике BCDMA: углы B и C — прямые; угол M — острый; углы A и D — тупые.
• В четырехугольнике OTKP: угол K — острый; углы O, T и P — тупые.
• В треугольнике ESN: углы S и N — острые; угол E — тупой.

Сгруппируем все углы по их типам:
Прямые углы: B, C.
Острые углы: M, K, S, N.
Тупые углы: A, D, O, T, P, E.
Ответ: Прямые углы — B, C; острые углы — M, K, S, N; тупые углы — A, D, O, T, P, E.

2) Симметричной называется фигура, которая имеет ось симметрии — прямую линию, делящую фигуру на две зеркально одинаковые части.

Рассмотрев представленные многоугольники, можно заключить, что только пятиугольник BCDMA является симметричным. Его ось симметрии проходит вертикально через вершину M и середину стороны BC. Две другие фигуры (OTKP и ESN) не имеют осей симметрии.
Ответ: BCDMA.

Вычисли. 64 : 4 7 • 12 50 : 2 39 : 3

64 : 4
Чтобы разделить 64 на 4, можно представить число 64 в виде суммы двух удобных слагаемых, каждое из которых легко делится на 4. Например, 64 можно представить как сумму 40 и 24.
$64 = 40 + 24$
Теперь, используя свойство деления суммы на число, разделим каждое слагаемое на 4 и сложим полученные результаты:
$64 : 4 = (40 + 24) : 4 = 40 : 4 + 24 : 4$
Вычисляем по частям:
$40 : 4 = 10$
$24 : 4 = 6$
Складываем результаты:
$10 + 6 = 16$
Таким образом, $64 : 4 = 16$.
Ответ: 16

7 · 12
Чтобы умножить 7 на 12, можно использовать распределительный закон умножения. Представим число 12 в виде суммы двух слагаемых: 10 и 2.
$12 = 10 + 2$
Теперь умножим число 7 на каждое слагаемое в отдельности и сложим результаты:
$7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 2$
Выполним умножение:
$7 \cdot 10 = 70$
$7 \cdot 2 = 14$
Теперь сложим полученные произведения:
$70 + 14 = 84$
Следовательно, $7 \cdot 12 = 84$.
Ответ: 84

50 : 2
Чтобы разделить 50 на 2, можно найти половину от числа 50. Также можно представить 50 в виде суммы удобных слагаемых, например, 40 и 10.
$50 = 40 + 10$
Разделим каждое слагаемое на 2 и сложим результаты:
$50 : 2 = (40 + 10) : 2 = 40 : 2 + 10 : 2$
Вычисляем по частям:
$40 : 2 = 20$
$10 : 2 = 5$
Складываем результаты:
$20 + 5 = 25$
Итак, $50 : 2 = 25$.
Ответ: 25

39 : 3
Чтобы разделить 39 на 3, представим число 39 в виде суммы слагаемых, которые легко делятся на 3. Например, 30 и 9.
$39 = 30 + 9$
Теперь разделим каждое слагаемое на 3 и сложим полученные частные:
$39 : 3 = (30 + 9) : 3 = 30 : 3 + 9 : 3$
Вычисляем по частям:
$30 : 3 = 10$
$9 : 3 = 3$
Складываем результаты:
$10 + 3 = 13$
Значит, $39 : 3 = 13$.
Ответ: 13