Страница 41, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1) Чтобы понять, почему так происходит, давайте представим задуманное число в виде переменной, например $x$. Теперь выполним все действия по порядку:
- Задумай любое число от 1 до 10: $x$
- Увеличь его в 5 раз: $x \cdot 5 = 5x$
- Прибавь к результату задуманное число: $5x + x = 6x$
- Раздели полученное число на 6: $6x \div 6 = x$
Как видно из вычислений, в результате мы всегда получаем исходное число $x$. Секрет в том, что умножение числа на 5 и последующее прибавление этого же числа — это то же самое, что умножение исходного числа на 6. А последующее деление на 6 является обратным действием и возвращает нас к первоначальному числу.
Ответ: В результате всех действий всегда получается задуманное число.

2) Этот фокус тоже можно легко объяснить с помощью алгебры. Снова обозначим задуманное число как $x$ и проследим за операциями:
- Задумай любое число от 1 до 10: $x$
- Увеличь его в 7 раз: $x \cdot 7 = 7x$
- Вычти задуманное число: $7x - x = 6x$
- Раздели полученный результат на 3: $6x \div 3 = 2x$
- Умножь ответ на 5: $2x \cdot 5 = 10x$
- Полученное число раздели на 10: $10x \div 10 = x$
Вся последовательность действий приводит к тому, что мы снова получаем задуманное число $x$. Это происходит потому, что все умножения и деления в конечном итоге компенсируют друг друга. Если записать все действия в виде одной формулы, это будет выглядеть так: $x \cdot (7-1) \div 3 \cdot 5 \div 10 = x \cdot 6 \div 3 \cdot 5 \div 10 = x \cdot 2 \cdot 5 \div 10 = x \cdot 10 \div 10 = x$.
Ответ: В результате всех действий всегда получается задуманное число.

2. Игра «Одиннадцать палочек»

Играют двое. На столе лежат 11 палочек. Первый играющий берёт по своему усмотрению 1, 2 или 3 палочки. Второй играющий берёт из оставшихся по своему усмотрению 1, 2 или 3 палочки. Так поочерёдно оба играющих берут каждый раз не более чем по 3 палочки. Проигрывает тот, кому придётся взять последнюю палочку. Попробуй догадаться, как должен играть начинающий, чтобы выиграть.

Совет: начни вести расчёт «от конца». На последний ход первый игрок должен оставить второму 1 палочку, на предпоследний — 5. Объясни почему и закончи расчёт.

Это классическая игра на выигрышную стратегию, которая решается с помощью анализа «с конца». Цель — заставить противника взять последнюю палочку. Это означает, что выигрывает тот, кто на своём ходу оставляет противнику ровно 1 палочку.

Объяснение, почему на предпоследнем ходу нужно оставить 5 палочек

Давайте проанализируем игру от финального хода. Чтобы заставить противника взять последнюю палочку, ему нужно оставить 1 палочку. Рассмотрим, какое количество палочек нужно оставить противнику на ход раньше, чтобы гарантировать себе победу. Пусть на столе $N$ палочек, и сейчас ваш ход.

Если вы оставите противнику 5 палочек, то он оказывается в проигрышной ситуации. Вот почему:

• Если он возьмёт 1 палочку, на столе останется $5-1=4$. Вы своим ходом берёте 3 палочки и оставляете ему $4-3=1$. Он проигрывает.
• Если он возьмёт 2 палочки, на столе останется $5-2=3$. Вы своим ходом берёте 2 палочки и оставляете ему $3-2=1$. Он проигрывает.
• Если он возьмёт 3 палочки, на столе останется $5-3=2$. Вы своим ходом берёте 1 палочку и оставляете ему $2-1=1$. Он проигрывает.

Таким образом, позиция с 5 палочками является проигрышной для того, чей ход. Ваша цель — оставить противнику именно это количество палочек.

Завершение расчёта и выигрышная стратегия

Можно заметить закономерность. Ключевая особенность игры в том, что за один свой ход и один ход противника (полный раунд) можно контролировать общее количество взятых палочек. Максимальное число палочек, которое можно взять — 3, минимальное — 1. Сумма этих чисел плюс один равна $1+3=4$. Если противник берёт $k$ палочек (где $k$ может быть 1, 2 или 3), вы всегда можете взять $4-k$ палочек. В этом случае за раунд вы вместе всегда будете убирать ровно 4 палочки.

Это позволяет нам найти все «проигрышные» позиции, которые нужно оставлять сопернику. Они образуют последовательность:

• $1$ (финальная проигрышная позиция)
• $1 + 4 = 5$
• $5 + 4 = 9$
• $9 + 4 = 13$ и т.д.

Общая формула для проигрышного числа палочек: $N = 4k + 1$, где $k$ — любое целое неотрицательное число.

Теперь применим эту стратегию к начальной ситуации с 11 палочками.

1. Изначально на столе 11 палочек. Это не проигрышная позиция, так как 11 не делится на 4 с остатком 1 ($11 = 4 \times 2 + 3$). Значит, первый игрок может выиграть. Ему нужно своим ходом оставить на столе проигрышное число палочек. Ближайшее такое число, меньшее 11, — это 9. Для этого первый игрок должен взять $11 - 9 = 2$ палочки.
2. На столе остаётся 9 палочек, и ход переходит ко второму игроку. Он в проигрышной позиции. Допустим, он берёт $k$ палочек (1, 2 или 3).
3. Теперь ход первого игрока. Его цель — оставить на столе следующую проигрышную позицию, то есть 5 палочек. Он должен взять $4-k$ палочек. Например:
   • Если второй взял 1 (осталось 8), первый берёт 3. Остаётся 5.
   • Если второй взял 2 (осталось 7), первый берёт 2. Остаётся 5.
   • Если второй взял 3 (осталось 6), первый берёт 1. Остаётся 5.
4. На столе 5 палочек, и ход снова у второго игрока. Он опять в проигрышной позиции. Как мы уже показали, что бы он ни сделал, первый игрок сможет оставить ему 1 палочку.
5. На столе остаётся 1 палочка. Второй игрок вынужден её взять и проигрывает.

Ответ: Чтобы выиграть, начинающий игрок должен придерживаться следующей стратегии. Первым ходом он должен взять 2 палочки, оставив на столе 9. Каждым своим последующим ходом он должен брать столько палочек, чтобы в сумме с палочками, которые только что взял второй игрок, получилось 4. То есть, если второй игрок взял 1 палочку, первый должен взять 3; если второй взял 2, первый тоже берёт 2; если второй взял 3, первый берёт 1. Придерживаясь этой тактики, первый игрок последовательно будет оставлять второму 9, 5 и, наконец, 1 палочку, что гарантирует ему победу.

1. Сколько всего палочек, если взяли:

1) 2 пучка по 100 палочек, 4 пучка по 10 палочек и 5 палочек;

2) 5 пучков по 100 палочек и 7 палочек?

1) Чтобы найти общее количество палочек, необходимо сложить количество палочек из каждой группы.
Сначала определим количество палочек в больших пучках: в 2 пучках по 100 палочек содержится $2 \times 100 = 200$ палочек.
Затем посчитаем палочки в пучках поменьше: в 4 пучках по 10 палочек содержится $4 \times 10 = 40$ палочек.
К этому нужно прибавить еще 5 отдельных палочек.
Теперь сложим все полученные значения, чтобы найти итоговое количество: $200 + 40 + 5 = 245$ палочек.
Ответ: 245 палочек.

2) Посчитаем общее количество палочек для второго случая.
Сначала определим количество палочек в 5 пучках по 100 палочек: $5 \times 100 = 500$ палочек.
Затем прибавим к этому количеству 7 отдельных палочек.
Сложим значения, чтобы получить общее количество: $500 + 7 = 507$ палочек.
Ответ: 507 палочек.

2. Как с помощью палочек изобразить числа: двести тридцать шесть? триста пять? восемьсот?

Чтобы изобразить числа с помощью палочек, используется система римских цифр, где каждая цифра может быть представлена как комбинация палочек (I, V, X) или специальных символов (C, D).

двести тридцать шесть

Число 236 раскладывается на разряды: 2 сотни, 3 десятка и 6 единиц. Запишем это математически: $236 = 200 + 30 + 6$.

1. Двести (200) в римской системе — это две сотни, то есть две буквы «C»: CC.

2. Тридцать (30) — это три десятка, то есть три буквы «X»: XXX.

3. Шесть (6) — это пять (V) и один (I): VI.

Теперь соединим все части вместе, чтобы получить итоговое число: CCXXXVI.

Ответ: CCXXXVI

триста пять

Число 305 раскладывается на разряды: 3 сотни, 0 десятков и 5 единиц. Запишем это математически: $305 = 300 + 5$.

1. Триста (300) — это три сотни, то есть три буквы «C»: CCC.

2. Десятков в числе нет, поэтому этот разряд мы пропускаем.

3. Пять (5) — это буква «V».

Соединяем все части вместе и получаем: CCCV.

Ответ: CCCV

восемьсот

Число 800 раскладывается на 500 и 300 для удобства записи в римской системе: $800 = 500 + 300$.

1. Пятьсот (500) в римской системе обозначается буквой «D».

2. Триста (300) — это три сотни, то есть три буквы «C»: CCC.

Соединяем обе части и получаем: DCCC.

Ответ: DCCC

3. Назови число, которое содержит:

6 сот. 4 дес. 0 ед.

Чтобы определить число по его разрядному составу, нужно сложить значения каждого разряда. В десятичной системе счисления каждый разряд представляет собой степень числа 10.

Сотни (сот.) — это третий разряд, который соответствует умножению на 100. В данном случае у нас 6 сотен:

$6 \text{ сот.} = 6 \times 100 = 600$

Десятки (дес.) — это второй разряд, который соответствует умножению на 10. У нас 4 десятка:

$4 \text{ дес.} = 4 \times 10 = 40$

Единицы (ед.) — это первый, самый младший разряд, который соответствует умножению на 1. У нас 0 единиц:

$0 \text{ ед.} = 0 \times 1 = 0$

Теперь сложим все полученные значения, чтобы найти искомое число:

$600 + 40 + 0 = 640$

Другой способ — просто записать цифры каждого разряда в соответствующей позиции: цифра 6 в разряде сотен, 4 в разряде десятков и 0 в разряде единиц. Это дает нам число 640.

Ответ: 640

1 сот. 0 дес. 8 ед.

Действуем по тому же принципу, что и в предыдущем пункте.

Определяем значение для каждой разрядной единицы:

1 сотня — это 100:

$1 \text{ сот.} = 1 \times 100 = 100$

0 десятков — это 0:

$0 \text{ дес.} = 0 \times 10 = 0$

8 единиц — это 8:

$8 \text{ ед.} = 8 \times 1 = 8$

Складываем значения всех разрядов, чтобы получить итоговое число:

$100 + 0 + 8 = 108$

Записывая цифры по их позициям (1 — сотни, 0 — десятки, 8 — единицы), мы также получаем число 108.

Ответ: 108

4. Грузовая машина расходует за 1 ч работы 15 л горючего. На сколько часов работы хватит 45 л горючего? 60 л? 90 л?

По условию задачи, грузовая машина расходует 15 литров горючего за 1 час работы. Чтобы найти, на сколько часов работы хватит заданного количества горючего, необходимо это количество разделить на расход за 1 час.

На сколько часов работы хватит 45 л горючего?

Разделим имеющееся количество горючего на часовой расход:
$45 \div 15 = 3$ (часа)
Ответ: 45 литров горючего хватит на 3 часа работы.

На сколько часов работы хватит 60 л горючего?

Разделим имеющееся количество горючего на часовой расход:
$60 \div 15 = 4$ (часа)
Ответ: 60 литров горючего хватит на 4 часа работы.

На сколько часов работы хватит 90 л горючего?

Разделим имеющееся количество горючего на часовой расход:
$90 \div 15 = 6$ (часов)
Ответ: 90 литров горючего хватит на 6 часов работы.

5. Грузовая машина при перевозке мебели израсходовала до остановки 48 л горючего, а после остановки 32 л. Сколько часов была в пути машина, если за 1 ч расходовалось 16 л горючего?

Для того чтобы узнать, сколько всего часов машина была в пути, можно решить задачу двумя способами.

Способ 1

1. Сначала вычислим общее количество горючего, которое израсходовала машина за всю поездку. Для этого сложим горючее, потраченное до остановки и после.

$48 \text{ л} + 32 \text{ л} = 80 \text{ л}$

2. Теперь, зная, что общий расход составил 80 литров, а за 1 час машина расходует 16 литров, найдем общее время в пути. Для этого разделим общий расход на часовой расход.

$80 \text{ л} / 16 \text{ л/ч} = 5 \text{ ч}$

Ответ: машина была в пути 5 часов.

Способ 2

1. Сначала определим, сколько времени машина ехала до остановки. Для этого разделим количество горючего, израсходованного до остановки, на часовой расход.

$48 \text{ л} / 16 \text{ л/ч} = 3 \text{ ч}$

2. Затем определим, сколько времени машина ехала после остановки. Для этого разделим количество горючего, израсходованного после остановки, на часовой расход.

$32 \text{ л} / 16 \text{ л/ч} = 2 \text{ ч}$

3. Наконец, сложим время, которое машина была в пути до и после остановки, чтобы найти общее время.

$3 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

Ответ: машина была в пути 5 часов.

44 : 2
Чтобы разделить 44 на 2, можно представить 44 в виде суммы удобных слагаемых, например, 40 и 4. Затем каждое слагаемое разделить на 2 и сложить полученные частные.
Выполним вычисление: $44 : 2 = (40 + 4) : 2 = 40 : 2 + 4 : 2 = 20 + 2 = 22$.
Ответ: 22

44 : 22
Чтобы разделить 44 на 22, нужно найти число, которое при умножении на 22 даст 44. Путем подбора легко найти, что это число 2.
Проверка: $22 \times 2 = 44$.
Вычисление: $44 : 22 = 2$.
Ответ: 2

66 : 3
Чтобы разделить 66 на 3, представим 66 в виде суммы слагаемых 60 и 6. Разделим каждое слагаемое на 3 и сложим результаты.
Выполним вычисление: $66 : 3 = (60 + 6) : 3 = 60 : 3 + 6 : 3 = 20 + 2 = 22$.
Ответ: 22

66 : 33
Чтобы разделить 66 на 33, нужно найти, сколько раз число 33 содержится в числе 66.
Проверка: $33 \times 2 = 66$.
Вычисление: $66 : 33 = 2$.
Ответ: 2

88 : 2
Чтобы разделить 88 на 2, представим 88 как сумму 80 и 8. Разделим каждое из этих чисел на 2 и сложим результаты.
Выполним вычисление: $88 : 2 = (80 + 8) : 2 = 80 : 2 + 8 : 2 = 40 + 4 = 44$.
Ответ: 44

88 : 22
Чтобы разделить 88 на 22, необходимо найти число, которое при умножении на 22 даст 88. Можно заметить, что $22 \times 4 = 88$.
Вычисление: $88 : 22 = 4$.
Ответ: 4

88 : 4
Чтобы разделить 88 на 4, представим 88 как сумму 80 и 8. Разделим каждое из слагаемых на 4 и сложим полученные частные.
Выполним вычисление: $88 : 4 = (80 + 8) : 4 = 80 : 4 + 8 : 4 = 20 + 2 = 22$.
Ответ: 22

88 : 44
Чтобы разделить 88 на 44, нужно найти, сколько раз 44 умещается в 88.
Проверка: $44 \times 2 = 88$.
Вычисление: $88 : 44 = 2$.
Ответ: 2

66 : 2
Чтобы разделить 66 на 2, представим 66 как сумму 60 и 6. Разделим каждое слагаемое на 2 и сложим результаты.
Выполним вычисление: $66 : 2 = (60 + 6) : 2 = 60 : 2 + 6 : 2 = 30 + 3 = 33$.
Ответ: 33

66 : 22
Чтобы разделить 66 на 22, нужно найти число, при умножении которого на 22 получится 66.
Проверка: $22 \times 3 = 66$.
Вычисление: $66 : 22 = 3$.
Ответ: 3

80 - 16 · 5

В этом выражении два действия: вычитание и умножение. Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Первое действие – умножение:

$16 \cdot 5 = 80$

2. Второе действие – вычитание:

$80 - 80 = 0$

Ответ: 0

70 + 2 · 12

В этом выражении два действия: сложение и умножение. Сначала выполняется умножение, а затем сложение.

1. Первое действие – умножение:

$2 \cdot 12 = 24$

2. Второе действие – сложение:

$70 + 24 = 94$

Ответ: 94

90 : (6 · 15)

В этом выражении есть скобки, поэтому сначала выполняем действие в скобках, а затем деление.

1. Первое действие – умножение в скобках:

$6 \cdot 15 = 90$

2. Второе действие – деление:

$90 : 90 = 1$

Ответ: 1

68 : (72 : 18)

Сначала выполняем действие в скобках, а затем деление за скобками.

1. Первое действие – деление в скобках:

$72 : 18 = 4$

2. Второе действие – деление:

$68 : 4 = 17$

Ответ: 17

78 : (13 - 7) · 0

Порядок действий: сначала вычисление в скобках, затем деление и умножение выполняются последовательно слева направо. Также можно заметить, что всё выражение умножается на ноль, что в итоге даст ноль.

1. Первое действие – вычитание в скобках:

$13 - 7 = 6$

2. Второе действие – деление:

$78 : 6 = 13$

3. Третье действие – умножение:

$13 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

64 : (39 - 7) · 1

Порядок действий: сначала вычисление в скобках, затем деление и умножение слева направо.

1. Первое действие – вычитание в скобках:

$39 - 7 = 32$

2. Второе действие – деление:

$64 : 32 = 2$

3. Третье действие – умножение:

$2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2

НАЙДИ ЛИШНЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ:

Чтобы найти лишнее выражение, необходимо вычислить значение каждого из них. Выражение, результат которого будет отличаться от результатов остальных, и является лишним.

Проведем вычисления для каждого выражения:

Умножаем 28 на 2: $28 \cdot 2 = 56$.

Согласно таблице умножения: $8 \cdot 7 = 56$.

Умножаем 4 на 14. Можно разложить 14 на 10 и 4: $4 \cdot 14 = 4 \cdot (10 + 4) = 4 \cdot 10 + 4 \cdot 4 = 40 + 16 = 56$.

Умножаем 27 на 2: $27 \cdot 2 = 54$.

При умножении любого числа на 1 получается то же самое число: $56 \cdot 1 = 56$.

Сравнив полученные результаты, мы видим, что значения первых четырех выражений равны 56, в то время как значение выражения $27 \cdot 2$ равно 54. Таким образом, оно отличается от всех остальных.

Ответ: Лишнее выражение — $27 \cdot 2$.

Назови число, которое содержит.

7 сот. 0 дес. 1 ед.

Чтобы определить число по его разрядному составу, нужно сложить значения каждого разряда.
В данном случае число содержит:
- 7 сотен, что равно $7 \times 100 = 700$;
- 0 десятков, что равно $0 \times 10 = 0$;
- 1 единицу, что равно $1 \times 1 = 1$.
Сложим эти значения: $700 + 0 + 1 = 701$.
Таким образом, цифра 7 стоит в разряде сотен, 0 – в разряде десятков, и 1 – в разряде единиц.

Ответ: 701

4 сот. 9 дес. 0 ед.

Аналогично первому случаю, определим значение каждого разряда и сложим их.
Число содержит:
- 4 сотни, что равно $4 \times 100 = 400$;
- 9 десятков, что равно $9 \times 10 = 90$;
- 0 единиц, что равно $0 \times 1 = 0$.
Сумма этих значений составляет: $400 + 90 + 0 = 490$.
Это означает, что в числе 4 сотни, 9 десятков и 0 единиц.

Ответ: 490