Номер 12, страница 41, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Часть 1. Урок 14. Свойства операции объединения множеств* - номер 12, страница 41.

Условие 2024.

12* В мешке лежат яблоки 3 сортов. Какое минимальное число яблок надо взять из мешка не глядя, чтобы:

а) среди них было не менее 2 яблок одного сорта;

б) среди них было хотя бы 5 яблок одного сорта.

Решение 2 (2024).

Эта задача решается с помощью принципа Дирихле. Суть принципа заключается в том, что если количество предметов больше количества ящиков, в которые их раскладывают, то хотя бы в одном ящике окажется более одного предмета. В нашем случае сорта яблок — это "ящики", а яблоки, которые мы достаем, — "предметы".

а) среди них было не менее 2 яблок одного сорта

У нас есть 3 сорта яблок. Чтобы гарантированно получить как минимум 2 яблока одного сорта, необходимо рассмотреть самый неблагоприятный сценарий. Такой сценарий наступает, когда мы последовательно достаем яблоки разных сортов.
1. Достаем первое яблоко. Пусть оно будет 1-го сорта.
2. Достаем второе яблоко. В худшем случае оно будет 2-го сорта.
3. Достаем третье яблоко. В худшем случае оно будет 3-го сорта.
После того как мы достали 3 яблока, у нас на руках по одному яблоку каждого сорта. Четвертое яблоко, которое мы достанем, неизбежно совпадет по сорту с одним из уже имеющихся, так как других сортов нет. Следовательно, у нас гарантированно будет 2 яблока одного сорта.
Таким образом, минимальное число яблок: $3 + 1 = 4$.
Ответ: 4.

б) среди них было хотя бы 5 яблок одного сорта

Здесь применяется тот же принцип, но для большего числа яблок. Мы хотим гарантированно получить 5 яблок одного сорта. Снова рассмотрим самый "неудачный" вариант, при котором мы максимально оттягиваем выполнение этого условия. Это означает, что мы будем доставать яблоки разных сортов как можно более равномерно.
В худшем случае мы можем достать по 4 яблока каждого из 3 сортов:
- 4 яблока 1-го сорта
- 4 яблока 2-го сорта
- 4 яблока 3-го сорта
На этом этапе мы достали $3 \times 4 = 12$ яблок. При этом у нас все еще нет 5 яблок ни одного из сортов. Однако следующее, 13-е яблоко, которое мы достанем, обязательно будет принадлежать к одному из трех сортов и дополнит группу яблок этого сорта до 5.
Таким образом, минимальное число яблок: $12 + 1 = 13$.
Общая формула для таких задач: $k \times (m - 1) + 1$, где $k$ – количество сортов, а $m$ – необходимое количество яблок одного сорта.
Для нашего случая: $3 \times (5 - 1) + 1 = 3 \times 4 + 1 = 13$.
Ответ: 13.

Условие 2020-2022.

12* В мешке лежит 3 сорта яблок. При этом яблок каждого сорта достаточно большое количество. Какое минимальное число яблок надо взять из мешка не глядя, чтобы:

а) среди них было не менее 2 яблок одного сорта;

б) среди них было хотя бы 5 яблок одного сорта.

Решение 2020-2022.