Номер 2, страница 105, часть 4 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

2. Изготовь подобные геометрические фигуры. Составь из них сложные фигуры. Чему будет равна их площадь?

Для решения задачи необходимо сначала проанализировать исходные фигуры, затем рассмотреть, как создаются подобные им фигуры, и в конце определить, как найти площадь сложной фигуры, составленной из них.

Сначала определим размеры и площади исходных фигур, введя условную единицу длины a. Судя по изображению, можно принять следующие соотношения сторон:

• Прямоугольник: высота a и ширина 2a. Его площадь $S_п = a \cdot 2a = 2a^2$.
• Прямоугольный треугольник: катеты a и 2a. Его площадь $S_т = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = a^2$.
• Квадрат: сторона a. Его площадь $S_к = a^2$.

Подобные фигуры — это фигуры, у которых все соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия и обозначается k.

Если стороны исходной фигуры умножить на коэффициент k, мы получим подобную ей фигуру. Важное свойство подобных фигур заключается в том, что их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

$S_{подобная} = k^2 \cdot S_{исходная}$

Например, изготовим фигуры, подобные исходным, с коэффициентом подобия $k=2$:

• Подобный прямоугольник: стороны $2a$ и $4a$, площадь $S'_п = (2a)(4a) = 8a^2 = 2^2 \cdot S_п$.
• Подобный треугольник: катеты $2a$ и $4a$, площадь $S'_т = \frac{1}{2} \cdot (2a)(4a) = 4a^2 = 2^2 \cdot S_т$.
• Подобный квадрат: сторона $2a$, площадь $S'_к = (2a)^2 = 4a^2 = 2^2 \cdot S_к$.

Ответ: Подобные фигуры создаются путем пропорционального изменения всех линейных размеров исходной фигуры в k раз. При этом площадь новой фигуры будет в $k^2$ раз больше или меньше площади исходной.

Сложную фигуру можно составить, соединив несколько простых фигур без наложения друг на друга. Площадь получившейся сложной фигуры будет равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Случай 1: Составляем сложную фигуру из исходного набора.

Площадь сложной фигуры, составленной из исходных прямоугольника, треугольника и квадрата, будет равна сумме их площадей, независимо от способа их расположения:

$S_{общая} = S_п + S_т + S_к = 2a^2 + a^2 + a^2 = 4a^2$

Случай 2: Составляем сложную фигуру из подобного набора (с коэффициентом k).

Если мы составим сложную фигуру из набора подобных фигур, созданных с коэффициентом k, её площадь будет равна:

$S'_{общая} = S'_п + S'_т + S'_к = k^2 \cdot S_п + k^2 \cdot S_т + k^2 \cdot S_к = k^2(S_п + S_т + S_к) = k^2 \cdot S_{общая}$

Для нашего примера с $k=2$:

$S'_{общая} = 8a^2 + 4a^2 + 4a^2 = 16a^2$

Это соответствует формуле: $S'_{общая} = 2^2 \cdot (4a^2) = 4 \cdot 4a^2 = 16a^2$.

Ответ: Площадь сложной фигуры, составленной из нескольких фигур без их взаимного наложения, равна сумме площадей этих фигур. Для исходного набора фигур общая площадь равна $4a^2$. Для набора подобных фигур с коэффициентом k общая площадь будет равна $k^2 \cdot 4a^2$, где a — условная единица длины, принятая для определения размеров исходных фигур.