Номер 9, страница 121, часть 4 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

9. Изготовь головной убор в форме конуса.

$R = 35 \text{ см}$

Для решения задачи по изготовлению конического головного убора необходимо определить его геометрические параметры, исходя из данных развертки. Разверткой является круговой сектор, вырезанный из круга радиусом $R = 35$ см. Этот радиус становится образующей конуса, то есть $l = 35$ см. Будем считать, что, как показано на рисунке, из круга вырезается сектор с углом $90^\circ$, а для конуса используется оставшийся сектор с углом $\alpha = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Расчет радиуса основания конуса

Длина дуги сектора-развертки становится длиной окружности основания конуса. Длина дуги ($L_{дуги}$) для сектора с центральным углом $\alpha = 270^\circ$ и радиусом (образующей) $l = 35$ см равна: $L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l = \frac{270^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 35 = \frac{3}{4} \cdot 70\pi = 52.5\pi$ см. Длина окружности основания конуса ($C_{осн}$) вычисляется по формуле $C_{осн} = 2\pi r$, где $\text{r}$ – радиус основания. Так как $L_{дуги} = C_{осн}$, то $2\pi r = 52.5\pi$. Отсюда находим радиус: $r = \frac{52.5}{2} = 26.25$ см.

Ответ: радиус основания конуса равен $26.25$ см.

Расчет высоты конуса

Высота конуса $\text{h}$, радиус его основания $\text{r}$ и образующая $\text{l}$ образуют прямоугольный треугольник, где $\text{l}$ — гипотенуза. Согласно теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$. Выразим высоту: $h = \sqrt{l^2 - r^2}$. Подставим числовые значения: $h = \sqrt{35^2 - 26.25^2} = \sqrt{1225 - 689.0625} = \sqrt{535.9375}$. Для получения точного значения лучше использовать обыкновенные дроби ($r = 26.25 = \frac{105}{4}$): $h = \sqrt{35^2 - (\frac{105}{4})^2} = \sqrt{1225 - \frac{11025}{16}} = \sqrt{\frac{19600 - 11025}{16}} = \sqrt{\frac{8575}{16}}$. Упростим выражение: $\sqrt{8575} = \sqrt{25 \cdot 49 \cdot 7} = 5 \cdot 7\sqrt{7} = 35\sqrt{7}$. Следовательно, точная высота конуса: $h = \frac{35\sqrt{7}}{4}$ см.

Ответ: высота конуса равна $\frac{35\sqrt{7}}{4}$ см, что приблизительно составляет $23.15$ см.

Расчет площади боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) — это площадь материала, необходимая для изготовления шляпы. Она равна площади сектора-развертки и может быть вычислена по формуле $S_{бок} = \pi r l$. $S_{бок} = \pi \cdot 26.25 \cdot 35 = 918.75\pi$ см².

Ответ: площадь боковой поверхности конуса равна $918.75\pi$ см², что приблизительно составляет $2886.2$ см².

Расчет объема конуса

Объем конуса ($\text{V}$) вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставим точные значения для радиуса и высоты: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot (26.25)^2 \cdot \frac{35\sqrt{7}}{4} = \frac{1}{3}\pi \cdot (\frac{105}{4})^2 \cdot \frac{35\sqrt{7}}{4}$ $V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{11025}{16} \cdot \frac{35\sqrt{7}}{4} = \frac{3675 \cdot 35\sqrt{7}}{64}\pi = \frac{128625\sqrt{7}}{64}\pi$ см³.

Ответ: объем конуса равен $\frac{128625\sqrt{7}}{64}\pi$ см³, что приблизительно составляет $16705.5$ см³.