Номер 1, страница 82, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Страничка для любознательных. Готовимся к олимпиаде. Числа, которые больше 1000. Умножение и деление (продолжение). ч. 2 - номер 1, страница 82.

1. Восстанови пропущенные цифры.

Пример 1 (сложение)

Данный пример представляет собой сложение в столбик трех чисел. Обозначим пропущенные цифры буквами, чтобы было удобнее рассуждать:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & 3 & A & 7 & 9 \\ + & 4 & 3 & B & 1 \\ & 5 & 6 & 0 & C \\ \hline D & E & 5 & 6 & 8 \\ \end{array} $

Решаем поразрядно, начиная справа налево (с единиц):

1. Разряд единиц: $9 + 1 + C$ должно оканчиваться на 8. Так как $9 + 1 = 10$, то $10 + C = 18$. Отсюда $C = 8$. В разряд десятков переносится 1.
2. Разряд десятков: $1 \text{ (из переноса)} + 7 + B + 0$ должно оканчиваться на 6. Получаем $8 + B = 16$. Отсюда $B = 8$. В разряд сотен переносится 1.
3. Разряд сотен: $1 \text{ (из переноса)} + A + 3 + 6$ должно оканчиваться на 5. Получаем $A + 10 = 15$. Отсюда $A = 5$. В разряд тысяч переносится 1.
4. Разряд тысяч: $1 \text{ (из переноса)} + 3 + 4 + 5 = 13$. Это число образует старшие разряды суммы. Значит, $E=3$, а $D=1$.

Восстановленный пример:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & 3 & 5 & 7 & 9 \\ + & 4 & 3 & 8 & 1 \\ & 5 & 6 & 0 & 8 \\ \hline 1 & 3 & 5 & 6 & 8 \\ \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & 3 & 5 & 7 & 9 \\ + & 4 & 3 & 8 & 1 \\ & 5 & 6 & 0 & 8 \\ \hline 1 & 3 & 5 & 6 & 8 \\ \end{array} $

Пример 2 (вычитание)

В этом примере из трехзначного числа вычитают трехзначное. Обозначим неизвестные цифры буквами:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & A & 3 & B \\ - & 1 & C & 9 \\ \hline & 7 & 0 & 5 \\ \end{array} $

Чтобы найти уменьшаемое (верхнее число), можно сложить вычитаемое (среднее число) и разность (результат):

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 1 & C & 9 \\ + & 7 & 0 & 5 \\ \hline & A & 3 & B \\ \end{array} $

1. Разряд единиц: $9 + 5 = 14$. Значит, $B=4$, и 1 переносится в разряд десятков.
2. Разряд десятков: $1 \text{ (из переноса)} + C + 0 = 3$. Отсюда $C = 2$.
3. Разряд сотен: $1 + 7 = 8$. Значит, $A = 8$.

Проверим вычитанием: $834 - 129$. $14-9=5$. $2-2=0$. $8-1=7$. Результат $705$ верен.

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 8 & 3 & 4 \\ - & 1 & 2 & 9 \\ \hline & 7 & 0 & 5 \\ \end{array} $

Пример 3 (умножение)

Здесь показано умножение трехзначного числа на однозначное, дан только первый частичный результат. Обозначим неизвестные цифры буквами:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & A & 4 & 8 \\ & \times & & & B \\ \hline & & 7 & C & 0 \\ \end{array} $

1. Произведение $8 \times B$ должно оканчиваться на 0. Это возможно, если $B=0$ или $B=5$. Если $B=0$, то весь результат будет равен 0, что не соответствует $7C0$. Следовательно, $B=5$.
2. Теперь умножаем $A48$ на 5. Единицы: $8 \times 5 = 40$. Пишем 0, 4 в уме.
3. Десятки: $4 \times 5 + 4 \text{ (в уме)} = 20 + 4 = 24$. Значит, $C=4$. Пишем 4, 2 в уме.
4. Сотни: $A \times 5 + 2 \text{ (в уме)} = 7$. Отсюда $A \times 5 = 5$, следовательно, $A=1$.

Получаем умножение $148 \times 5 = 740$.

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 1 & 4 & 8 \\ & \times & & & 5 \\ \hline & & 7 & 4 & 0 \\ \end{array} $

Пример 4 (деление)

Это задача на деление в столбик. Из записи видно, что делитель равен 7, а частное (результат) - трехзначное число вида $1*6$. Обозначим делимое как $A4B$, а частное как $1C6$.

$ \begin{array}{c|l} A4B & 7 \\ \cline{2-2} \dots & 1C6 \end{array} $

Рассмотрим шаги деления в обратном порядке:

1. Последний шаг деления: из числа `4*` вычитают `4*` и получают 0. Это вычитаемое равно произведению последней цифры частного (6) на делитель (7): $6 \times 7 = 42$. Значит, последнее вычитаемое - это 42. Число, из которого его вычитали, тоже 42.
2. Это число 42 было получено, когда к остатку от предыдущего шага деления ($R_2$) "снесли" последнюю цифру делимого ($B$). То есть, $R_2B = 42$. Отсюда остаток $R_2=4$, а последняя цифра делимого $B=2$.
3. Рассмотрим средний шаг деления. Из промежуточного делимого `4*` вычитают `4*` и получают остаток $R_2=4$. Обозначим промежуточное делимое как $I_1=4X$, а вычитаемое как $S_2=4Y$. Тогда $(40+X) - (40+Y) = 4$, что упрощается до $X-Y=4$.
4. Промежуточное делимое $I_1$ было получено, когда к остатку от первого шага ($R_1$) "снесли" вторую цифру делимого (4). Значит, $I_1 = R_14$. Это число имеет вид `4*`, как показано в задаче. Это означает, что $I_1$ должно быть от 40 до 49, а значит $R_1=4$.
5. Первый шаг деления: первая цифра частного равна 1. Это значит, что $A/7 = 1$ с остатком $R_1$. То есть $A - 1 \times 7 = R_1$. Подставив $R_1=4$, получаем $A-7=4$, откуда $A=11$. Но $A$ - это одна цифра, поэтому здесь возникает противоречие, если считать, что делимое - трехзначное число $A4B$.
6. Противоречие указывает на то, что делимое, вероятно, имеет больше цифр, или в условии задачи есть неточность. Наиболее вероятное решение, соответствующее большинству указаний, получается, если предположить, что в среднем шаге деления в условии допущена ошибка. Логически восстановим пример: Пусть делимое $A4B$, делитель 7, частное $1C6$. Мы уже знаем, что $B=2$ и остаток от второго шага $R_2=4$. Второй шаг: $I_1 - S_2 = R_2$. $I_1 = R_1 \times 10 + 4$ (где 4 - вторая цифра делимого). $S_2 = 7 \times C$. Получаем $R_1 \times 10 + 4 - 7 \times C = 4$, что дает $R_1 \times 10 = 7 \times C$. Так как $R_1$ и $C$ - это цифры, единственное решение (кроме тривиального $R_1=C=0$) невозможно. Значит, $R_1=0$ и $C=0$. Из $R_1=0$ следует: $A - 1 \times 7 = R_1=0 \implies A=7$. Итак, делимое - 742, а частное - 106.

Проверим деление $742 \div 7 = 106$ в столбик:

• $7 \div 7 = 1$. Остаток 0.
• Сносим 4. Получаем 04 (или 4). $4 \div 7 = 0$. Остаток 4.
• Сносим 2. Получаем 42. $42 \div 7 = 6$. Остаток 0.

Это решение соответствует всем цифрам, кроме неточности в изображении среднего шага деления (`4* - 4*` вместо `04 - 0`).

Ответ:

$ \begin{array}{r|l} 742 & 7 \\ \cline{2-2} -7\phantom{42} & 106 \\ \hline \phantom{7}4\phantom{2} \\ - \phantom{7}0\phantom{2} \\ \hline \phantom{7}42 \\ - 42 \\ \hline 0 \end{array} $