Номер 6, страница 11, часть 2 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь Петерсон

6 Вася шифрует числа. Сначала он выписывает произведение первой и второй цифр, за ним – второй и третьей и так далее. Например, число 346 превратится в 1224. Сколько чисел превращается в 5648?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Согласно условию, шифрование числа происходит путем последовательной записи произведений соседних цифр. Чтобы расшифровать число 5648, нам нужно выполнить обратную операцию: разбить его на части, каждая из которых является произведением двух однозначных чисел, и восстановить исходную последовательность цифр.

Произведение двух однозначных чисел (от 0 до 9) не может быть больше чем $9 \times 9 = 81$. Значит, каждая часть зашифрованного числа может состоять из одной или двух цифр.

Рассмотрим возможные варианты длины исходного числа.

Случай 1: Исходное число трехзначное ($d_1d_2d_3$)
В этом случае зашифрованное число состоит из двух произведений: $p_1 = d_1 \times d_2$ и $p_2 = d_2 \times d_3$. Число 5648 нужно разбить на две части. Единственный возможный вариант, при котором обе части не превышают 81, это 56 и 48.

Получаем систему:

• $d_1 \times d_2 = 56$
• $d_2 \times d_3 = 48$

Из первого уравнения возможны пары цифр $(d_1, d_2)$: (7, 8) или (8, 7).
Из второго уравнения возможны пары цифр $(d_2, d_3)$: (6, 8) или (8, 6).

Общая цифра $d_2$ должна быть одинаковой в обоих случаях.

• Если $d_2 = 8$, то из первого уравнения $d_1 = 7$, а из второго $d_3 = 6$. Мы получаем последовательность цифр 7, 8, 6, что соответствует исходному числу 786. Проверим: $7 \times 8 = 56$, $8 \times 6 = 48$. Шифр: 5648. Это решение подходит.
• Если $d_2 = 7$, то для второго уравнения ($7 \times d_3 = 48$) нет целочисленного решения, так как 48 не делится на 7.

В этом случае мы нашли одно число: 786.

Случай 2: Исходное число четырехзначное ($d_1d_2d_3d_4$)
В этом случае зашифрованное число состоит из трех произведений: $p_1 = d_1 \times d_2$, $p_2 = d_2 \times d_3$ и $p_3 = d_3 \times d_4$. Нужно разбить 5648 на три части.

Возможные разбиения:

• Разбиение 56, 4, 8:
  $d_1 \times d_2 = 56 \Rightarrow d_2 \in \{7, 8\}$.
  $d_2 \times d_3 = 4 \Rightarrow d_2 \in \{1, 2, 4\}$.
  Множества возможных значений для $d_2$ не пересекаются. Решений нет.
• Разбиение 5, 64, 8:
  $d_1 \times d_2 = 5 \Rightarrow d_2 \in \{1, 5\}$.
  $d_2 \times d_3 = 64 \Rightarrow d_2 = 8$.
  Значения для $d_2$ не совпадают. Решений нет.
• Разбиение 5, 6, 48:
  $d_1 \times d_2 = 5 \Rightarrow (d_1, d_2) \in \{(1, 5), (5, 1)\}$.
  $d_2 \times d_3 = 6$.
  $d_3 \times d_4 = 48 \Rightarrow d_3 \in \{6, 8\}$.
  Начнем с середины. Из $d_3 \times d_4 = 48$, $d_3$ может быть 6 или 8. Из $d_2 \times d_3 = 6$, $d_3$ может быть 1, 2, 3 или 6. Единственное общее значение - $d_3 = 6$.
  Если $d_3 = 6$, то из $d_2 \times 6 = 6$ получаем $d_2 = 1$.
  Если $d_2 = 1$, то из $d_1 \times 1 = 5$ получаем $d_1 = 5$.
  Если $d_3 = 6$, то из $6 \times d_4 = 48$ получаем $d_4 = 8$.
  Мы получили последовательность цифр 5, 1, 6, 8, что соответствует исходному числу 5168. Проверим: $5 \times 1 = 5$, $1 \times 6 = 6$, $6 \times 8 = 48$. Шифр: 5648. Это второе решение.

Случай 3: Исходное число имеет 5 и более цифр
Если исходное число пятизначное, то шифр должен состоять из 4 произведений. Число 5648 можно разбить на 4 однозначных числа: 5, 6, 4, 8. Но эта цепочка не приводит к решению. Например, из $d_1 \times d_2 = 5$ и $d_2 \times d_3 = 6$ следует $d_2=1$, $d_1=5$, $d_3=6$. Но из $d_3 \times d_4 = 4$ следует, что $d_3$ должно быть 1, 2 или 4, а не 6. Противоречие.

Таким образом, мы нашли ровно два числа, которые превращаются в 5648: это 786 и 5168.

Ответ: 2