Номер 1, страница 48, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь Петерсон

Рассмотри графики движения. Найди скорости движения и определи, чьи это могут быть графики? Нарисуй движущиеся объекты I и II (или наклей картинки) справа от графиков. Ответь на вопросы.

a) s км

$v_1 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

$v_2 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

1) В котором часу началось движение I? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

2) В каком направлении двигался I? Из \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ В \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

3) В каком направлении двигался II? Из \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ В \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

4) Когда и на каком расстоянии от А произошла встреча? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

5) В котором часу I прибыл в пункт В? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ II прибыл в пункт А? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

6) На каком расстоянии друг от друга были I и II в полдень? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

7) На сколько дольше был в пути I, чем II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

t ч

б) s км

$v_1 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

$v_2 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

1) Сколько времени был в пути I? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

2) Какой путь проехал I? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

3) Через сколько времени после выхода I произошла встреча? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

На каком расстоянии от пункта В? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

4) Была ли остановка у I? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ у II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ Если «да», то сколько времени она длилась? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

5) Какое расстояние было между I и II в момент выхода II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

6) Кто из них раньше приехал в пункт В и на сколько? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

t ч

а)

Для начала определим скорости движущихся объектов.
Скорость объекта I ($v_1$). График движения объекта I состоит из трех участков. На двух он движется, на одном — стоит.
1. С 9:00 до 11:00 (за 2 часа) объект прошел 4 км. Его скорость на этом участке была $v_{1a} = \frac{4 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 2 \text{ км/ч}$.
2. С 11:30 до 13:30 (за 2 часа) объект прошел расстояние от 4 км до 14 км, то есть $14 - 4 = 10$ км. Его скорость на этом участке была $v_{1b} = \frac{10 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 5 \text{ км/ч}$.
Скорость объекта II ($v_2$). Объект II двигался из точки B (16 км) в точку A (0 км) с 10:30 до 12:00.
Время в пути: $t_2 = 12:00 - 10:30 = 1.5$ часа.
Пройденный путь: $s_2 = 16$ км.
Скорость: $v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{16 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = \frac{16}{3/2} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \text{ км/ч}$.
Таким образом, $v_1$ имеет два значения: 2 км/ч и 5 км/ч, а $v_2 = 10\frac{2}{3}$ км/ч.

1) В котором часу началось движение I? II?

Согласно графику, движение объекта I началось в 9:00, а движение объекта II — в 10:30.

Ответ: I в 9:00, II в 10:30.

2) В каком направлении двигался I? Из ___ в ___

Объект I начал движение от отметки s=0 км (пункт А) и двигался в сторону увеличения расстояния, то есть к пункту В.

Ответ: Из А в В.

3) В каком направлении двигался II? Из ___ в ___

Объект II начал движение от отметки s=16 км (пункт В) и двигался в сторону уменьшения расстояния до нуля, то есть к пункту А.

Ответ: Из В в А.

4) Когда и на каком расстоянии от А произошла встреча?

Встреча соответствует точке пересечения графиков. Для нахождения точных координат решим систему уравнений движения. Отсчет времени $t$ будем вести в часах от 9:00.
Уравнение для I (до остановки): $s_1(t) = 2t$.
Уравнение для II: прямая проходит через точки (1.5, 16) и (3, 0). Ее уравнение: $s_2(t) = -\frac{32}{3}(t-3)$.
Приравниваем $s_1$ и $s_2$: $2t = -\frac{32}{3}(t-3) \Rightarrow 6t = -32t + 96 \Rightarrow 38t = 96 \Rightarrow t = \frac{48}{19}$ ч.
Это $t = 2 \frac{10}{19}$ часа после 9:00, что примерно равно 2 ч 32 мин. То есть, встреча произошла в 11:32.
Расстояние от А: $s = 2 \cdot \frac{48}{19} = \frac{96}{19} \approx 5.1$ км.

Ответ: Встреча произошла примерно в 11:32 на расстоянии около 5.1 км от пункта А.

5) В котором часу I прибыл в пункт B? II прибыл в пункт A?

Из графика видно, что объект II прибыл в пункт А (s=0) в 12:00.
График движения объекта I заканчивается в 13:30 в точке s=14 км. Пункт B находится на расстоянии 16 км от А. Следовательно, к 13:30 объект I еще не достиг пункта В.

Ответ: II прибыл в пункт А в 12:00. Объект I к 13:30 в пункт В не прибыл.

6) На каком расстоянии друг от друга были I и II в полдень?

Полдень — это 12:00. В это время объект II был в пункте А ($s_2 = 0$ км).
Объект I с 11:30 двигался со скоростью 5 км/ч от отметки 4 км. К 12:00 он двигался 0.5 часа и прошел $5 \text{ км/ч} \cdot 0.5 \text{ ч} = 2.5$ км.
Его координата: $s_1 = 4 + 2.5 = 6.5$ км.
Расстояние между ними: $6.5 - 0 = 6.5$ км.

Ответ: 6.5 км.

7) На сколько дольше был в пути I, чем II?

Время движения I по графику: с 9:00 до 13:30, то есть 4.5 часа.
Время движения II по графику: с 10:30 до 12:00, то есть 1.5 часа.
Разница: $4.5 - 1.5 = 3$ часа.

Ответ: I был в пути дольше на 3 часа.

б)

Определим скорости движущихся объектов.
Скорость объекта I ($v_1$). Объект I двигался с 0 до 2 часов, проехав 40 км. Затем стоял 1 час. Затем с 3 до 5 часов проехал еще 40 км (с 40 км до 80 км). В обоих случаях скорость движения была одинакова:
$v_1 = \frac{40 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$.
Скорость объекта II ($v_2$). Объект II двигался с 3 ч до 4.5 ч, то есть 1.5 часа, и проехал 80 км.
$v_2 = \frac{80 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = \frac{80}{3/2} = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3} \text{ км/ч}$.
Таким образом, $v_1 = 20$ км/ч, а $v_2 = 53\frac{1}{3}$ км/ч.

1) Сколько времени был в пути I? II?

Объект I находился в пути с 0 до 5 часов. Общее время: 5 часов.
Объект II находился в пути с 3 до 4.5 часов. Общее время: $4.5 - 3 = 1.5$ часа.

Ответ: I — 5 часов, II — 1.5 часа.

2) Какой путь проехал I? II?

Оба объекта проехали от пункта А (0 км) до пункта В (80 км). Таким образом, каждый из них проехал 80 км.

Ответ: I — 80 км, II — 80 км.

3) Через сколько времени после выхода I произошла встреча? На каком расстоянии от пункта B?

Встреча (обгон) произойдет, когда координаты объектов совпадут ($s_1 = s_2$). Это случится после 3 часов, когда движутся оба объекта.
Уравнение движения I (при $t \ge 3$): $s_1(t) = 40 + 20(t - 3)$.
Уравнение движения II (при $t \ge 3$): $s_2(t) = \frac{160}{3}(t - 3)$.
Приравняем: $40 + 20(t - 3) = \frac{160}{3}(t - 3)$.
$40 = (\frac{160}{3} - 20)(t - 3) \Rightarrow 40 = (\frac{160 - 60}{3})(t-3) \Rightarrow 40 = \frac{100}{3}(t-3)$.
$t - 3 = \frac{40 \cdot 3}{100} = 1.2$ часа.
$t = 3 + 1.2 = 4.2$ часа.
Встреча произошла через 4.2 часа (4 часа 12 минут) после выхода I.
Расстояние от А в этот момент: $s = s_1(4.2) = 40 + 20(4.2 - 3) = 40 + 20(1.2) = 40 + 24 = 64$ км.
Расстояние от пункта В (80 км): $80 - 64 = 16$ км.

Ответ: Через 4.2 часа (4 часа 12 минут), на расстоянии 16 км от пункта В.

4) Была ли остановка у I? у II? Если «да», то сколько времени она длилась?

На графике I есть горизонтальный участок с t=2 до t=3, что означает остановку длительностью $3 - 2 = 1$ час.
График II — это непрерывная наклонная линия, что означает движение без остановок.

Ответ: У I была остановка длительностью 1 час. У II остановок не было.

5) Какое расстояние было между I и II в момент выхода II?

Объект II вышел в t=3 ч. В этот момент он был в точке А ($s_2=0$).
Объект I в t=3 ч находился в точке s=40 км (он только что закончил остановку).
Расстояние между ними составляло $40 - 0 = 40$ км.

Ответ: 40 км.

6) Кто из них раньше приехал в пункт B и на сколько?

Объект I прибыл в пункт В (80 км) в t=5 часов.
Объект II прибыл в пункт В (80 км) в t=4.5 часа.
Следовательно, II приехал раньше.
Разница во времени: $5 - 4.5 = 0.5$ часа (30 минут).

Ответ: II приехал раньше на 0.5 часа (на 30 минут).