Номер 11, страница 96, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 32. Площадь прямоугольного треугольника. Часть 1 - номер 11, страница 96.

Условие.

11 Замени буквы цифрами так, чтобы равенство было верно (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные):

$ABB + BAC = BDDD$

Решение.

Решение 2.

Запишем данное равенство в виде сложения в столбик, где А, B, C, D — различные цифры. Так как ABB и BAC являются трехзначными числами, A и B не могут быть равны нулю.

$A B B$
$+ B A C$
$-------$
$B D D D$

Шаг 1: Определение цифры B

Сумма двух трехзначных чисел всегда меньше 2000 (например, $999 + 999 = 1998$). Поскольку результат BDDD является четырехзначным числом, его первая цифра B может быть только 1. Итак, $B = 1$.

Шаг 2: Подстановка значения B в равенство

Теперь равенство выглядит так: $A11 + 1AC = 1DDD$. Запишем это в столбик:

$A 1 1$
$+ 1 A C$
$-------$
$1 D D D$

Шаг 3: Анализ сложения по разрядам

Для удобства введем переменные для переносов между разрядами: $p_1$ — перенос из разряда единиц в разряд десятков, $p_2$ — перенос из разряда десятков в разряд сотен. Эти переносы могут быть равны 0 или 1.

Составим систему уравнений на основе сложения в столбик:

1. Разряд единиц: $1 + C = D + 10 \cdot p_1$
2. Разряд десятков: $1 + A + p_1 = D + 10 \cdot p_2$
3. Разряд сотен: $A + 1 + p_2 = 1D$, что равносильно $A + 1 + p_2 = 10 + D$

Шаг 4: Нахождение A и D

Рассмотрим третье уравнение: $A + 1 + p_2 = 10 + D$. Выразим A: $A = 9 + D - p_2$.

Поскольку $p_2$ может быть либо 0, либо 1, разберем оба случая:

• Случай 1: $p_2 = 0$.
  Уравнение принимает вид $A = 9 + D$. Так как A и D — это цифры от 0 до 9, единственно возможное решение — это $A=9$ и $D=0$. Подставим эти значения в уравнение для разряда десятков (2): $1 + 9 + p_1 = 0 + 10 \cdot 0 \Rightarrow 10 + p_1 = 0$. Это уравнение не имеет решения, так как $p_1$ не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.
• Случай 2: $p_2 = 1$.
  Уравнение принимает вид $A = 9 + D - 1$, то есть $A = 8 + D$. Так как A и D — разные цифры и $D \ne B$ (то есть $D \ne 1$), возможны следующие пары (A, D): (8, 0) и (9, 1). Пара (9, 1) не подходит, так как $D=1$, а у нас уже $B=1$. Остается единственный вариант: $A = 8$ и $D = 0$.

Шаг 5: Нахождение C и проверка

Мы получили: $A=8, B=1, D=0$ и $p_2=1$. Проверим эти значения с помощью уравнения для разряда десятков (2), чтобы найти $p_1$:
$1 + A + p_1 = D + 10 \cdot p_2 \Rightarrow 1 + 8 + p_1 = 0 + 10 \cdot 1 \Rightarrow 9 + p_1 = 10$.
Отсюда следует, что $p_1 = 1$. Это допустимое значение для переноса.

Теперь, зная $D=0$ и $p_1=1$, найдем C из уравнения для разряда единиц (1):
$1 + C = D + 10 \cdot p_1 \Rightarrow 1 + C = 0 + 10 \cdot 1 \Rightarrow 1 + C = 10$.
Отсюда $C = 9$.

Шаг 6: Итоговая проверка

Мы нашли значения для всех букв:

• $A = 8$
• $B = 1$
• $C = 9$
• $D = 0$

Все цифры (8, 1, 9, 0) различны, что соответствует условию. Подставим их в исходное равенство:

$ABB + BAC = BDDD$

$811 + 189 = 1000$

Проверим вычисление: $811 + 189 = 1000$. Равенство верно.

Ответ: $A=8, B=1, C=9, D=0$.