Номер 6, страница 23, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 6. Транспортир. Часть 3 - номер 6, страница 23.

Условие.

6 Найди пары вертикальных углов и отметь одинаковыми дугами. Измерь вертикальные углы и сравни.

Какую закономерность ты наблюдаешь? Как обосновать это свойство вертикальных углов, опираясь на свойство смежных углов?

Решение.

Решение 2.

Найди пары вертикальных углов и отметь одинаковыми дугами. Измерь вертикальные углы и сравни.
Вертикальные углы — это пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых, где стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На данных рисунках можно выделить следующие пары вертикальных углов:
1. На первом рисунке, где прямые BK и CD пересекаются в точке A:

• Первая пара: $∠BAC$ и $∠KAD$.
• Вторая пара: $∠CAK$ и $∠BAD$.

2. На втором рисунке, где прямые EF и MN пересекаются в точке O:

• Первая пара: $∠EOM$ и $∠FON$.
• Вторая пара: $∠EON$ и $∠FOM$.

Если измерить эти углы с помощью транспортира, можно убедиться, что величины углов в каждой паре одинаковы. Например, на первом рисунке, измерив $∠BAC$, мы получим ту же градусную меру для $∠KAD$. Точно так же $∠CAK$ будет равен $∠BAD$.
Ответ: Пары вертикальных углов: ($∠BAC$, $∠KAD$) и ($∠CAK$, $∠BAD$); ($∠EOM$, $∠FON$) и ($∠EON$, $∠FOM$). Сравнение при помощи измерения показывает, что вертикальные углы в каждой паре равны.

Какую закономерность ты наблюдаешь?
При измерении и сравнении вертикальных углов наблюдается следующая закономерность: вертикальные углы всегда равны друг другу. Это их основное свойство.
Ответ: Вертикальные углы равны.

Как обосновать это свойство вертикальных углов, опираясь на свойство смежных углов?
Свойство вертикальных углов можно доказать, используя свойство смежных углов. Смежные углы — это два угла с общей вершиной, одна сторона у которых общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180°$.

Рассмотрим пару вертикальных углов $∠BAC$ и $∠KAD$ и докажем их равенство.

1. Углы $∠BAC$ и $∠CAK$ являются смежными. У них общая сторона AC, а стороны AB и AK образуют прямую BK. Согласно свойству смежных углов: $∠BAC + ∠CAK = 180°$. Из этого равенства выразим $∠BAC$: $∠BAC = 180° - ∠CAK$.
2. Теперь рассмотрим углы $∠KAD$ и $∠CAK$. Они также являются смежными. У них общая сторона AK, а стороны AC и AD образуют прямую CD. Поэтому: $∠KAD + ∠CAK = 180°$. Из этого равенства выразим $∠KAD$: $∠KAD = 180° - ∠CAK$.
3. Мы получили два выражения. Правые части у них одинаковы ($180° - ∠CAK$). Это значит, что и левые части должны быть равны: $∠BAC = ∠KAD$.
Таким образом, мы доказали, что вертикальные углы равны, опираясь на то, что они дополняют один и тот же смежный угол до $180°$. Аналогично можно доказать и равенство второй пары вертикальных углов $∠CAK$ и $∠BAD$.
Ответ: Равенство вертикальных углов следует из свойства смежных углов. Если два угла (например, $∠BAC$ и $∠KAD$) являются смежными с одним и тем же третьим углом (в нашем доказательстве это $∠CAK$), то они равны между собой, так как оба они равны $180°$ минус величина этого третьего угла.