Номер 3, страница 58, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 15. Построение точек по их координатам. Часть 3 - номер 3, страница 58.

Условие.

3) а) Проведи прямые AB и CD, если A (1; 4), B (9; 10), C (3; 9), D (10; 2).

Найди координаты их точки пересечения M.

M ( ; )

б) Измерь угол AMD. Как вычислить величины остальных углов?

Проверь с помощью измерений.

$ \angle AMD = $ _______ $ \angle BMC = $ _______

$ \angle BMD = $ _______ $ \angle AMC = $ _______

Решение.

Решение 2.

а) Для нахождения координат точки пересечения M прямых AB и CD, проходящих через точки A(1; 4), B(9; 10) и C(3; 9), D(10; 2) соответственно, необходимо сначала составить уравнения этих прямых. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.
Для прямой AB угловой коэффициент $k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{10 - 4}{9 - 1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Чтобы найти $b$, подставим координаты точки A(1; 4) в уравнение $y = \frac{3}{4}x + b$:
$4 = \frac{3}{4} \cdot 1 + b \Rightarrow b = 4 - \frac{3}{4} = \frac{13}{4}$.
Таким образом, уравнение прямой AB: $y = \frac{3}{4}x + \frac{13}{4}$.
Для прямой CD угловой коэффициент $k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{2 - 9}{10 - 3} = \frac{-7}{7} = -1$. Чтобы найти $b$, подставим координаты точки C(3; 9) в уравнение $y = -x + b$:
$9 = -1 \cdot 3 + b \Rightarrow b = 12$.
Таким образом, уравнение прямой CD: $y = -x + 12$.
Точка пересечения M является решением системы этих двух уравнений. Приравняем правые части уравнений:
$\frac{3}{4}x + \frac{13}{4} = -x + 12$
Умножим обе части уравнения на 4:
$3x + 13 = -4x + 48$
$7x = 35$
$x = 5$
Теперь найдем координату $y$, подставив $x=5$ в уравнение прямой CD:
$y = -5 + 12 = 7$.
Координаты точки пересечения M(5; 7).
Ответ: M(5; 7).

б) При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых равна $180^\circ$.
Измерив угол $\angle AMD$ с помощью транспортира, мы получим значение примерно $98^\circ$.
Зная величину одного угла, можно вычислить остальные:
1. Угол $\angle BMC$ является вертикальным к углу $\angle AMD$, следовательно, они равны: $\angle BMC = \angle AMD = 98^\circ$.
2. Угол $\angle BMD$ является смежным с углом $\angle AMD$, их сумма составляет $180^\circ$: $\angle BMD = 180^\circ - \angle AMD = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$.
3. Угол $\angle AMC$ является вертикальным к углу $\angle BMD$ (а также смежным с $\angle AMD$), следовательно: $\angle AMC = \angle BMD = 82^\circ$.
Проверка с помощью измерений транспортиром подтвердит вычисленные значения.
$\angle AMD = 98^\circ$
$\angle BMC = 98^\circ$
$\angle BMD = 82^\circ$
$\angle AMC = 82^\circ$
Ответ: $\angle AMD = 98^\circ$, $\angle BMC = 98^\circ$, $\angle BMD = 82^\circ$, $\angle AMC = 82^\circ$.