Номер 4, страница 58, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 15. Построение точек по их координатам. Часть 3 - номер 4, страница 58.

Условие.

4 а) Построй треугольник ABC, если $A (1; 2)$, $B (3; 8)$, $C (9; 6)$. Измерь его стороны и углы. Что ты замечаешь?

$AB = $

$\angle A = $

$AC = $

$\angle B = $

$BC = $

$\angle C = $

б) Отметь на стороне $AC$ точку $M$ с абсциссой 5, запиши её координаты. В чём особенность её расположения на стороне $AC$?

$M (5; )$

в) Проведи луч $BM$. Проверь с помощью транспортира, является ли он биссектрисой угла $B$. Что интересного в расположении луча $BM$ и отрезка $AC$?

Решение.

Решение 2.

а) Построй треугольник ABC, если A(1; 2), B(3; 8), C(9; 6). Измерь его стороны и углы. Что ты замечаешь?

1. Сначала построим треугольник, отметив на координатной плоскости точки с заданными координатами A(1; 2), B(3; 8) и C(9; 6) и соединив их отрезками.

2. Затем вычислим длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(3-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.
Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(9-3)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$.
Длина стороны AC: $AC = \sqrt{(9-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$.

3. Теперь измерим углы. Можно заметить, что длины сторон $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC = \sqrt{40}$), следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle C$.
Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Возведем длины сторон в квадрат:
$AB^2 = (\sqrt{40})^2 = 40$.
$BC^2 = (\sqrt{40})^2 = 40$.
$AC^2 = (\sqrt{80})^2 = 80$.
Сложим квадраты двух меньших сторон: $AB^2 + BC^2 = 40 + 40 = 80$.
Полученная сумма равна квадрату третьей стороны: $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Согласно обратной теореме Пифагора, это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, а угол B, лежащий напротив самой длинной стороны (гипотенузы) AC, равен $90^\circ$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Тогда $\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Поскольку $\angle A = \angle C$, то каждый из этих углов равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Что мы замечаем: Треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным.

Ответ: $AB = \sqrt{40}$, $AC = \sqrt{80}$, $BC = \sqrt{40}$. $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Треугольник является равнобедренным и прямоугольным.

б) Отметь на стороне AC точку M с абсциссой 5, запиши её координаты. В чём особенность её расположения на стороне AC?

1. Точка M лежит на отрезке AC. Чтобы найти её ординату (y-координату), сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 2) и C(9; 6).
Угловой коэффициент прямой: $k = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{6-2}{9-1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Используя уравнение прямой $y = kx + b$ и координаты точки A, найдем $b$:
$2 = \frac{1}{2}(1) + b \Rightarrow b = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Таким образом, уравнение прямой AC: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

2. Нам известно, что абсцисса точки M равна 5 ($x_M = 5$). Подставим это значение в уравнение прямой, чтобы найти ординату $y_M$:
$y_M = \frac{1}{2}(5) + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Следовательно, координаты точки M — (5; 4).

3. Чтобы выявить особенность расположения точки M, найдем координаты середины отрезка AC по формулам $x_{сер} = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_{сер} = \frac{y_A + y_C}{2}$:
$x_{сер} = \frac{1+9}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$y_{сер} = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Координаты середины отрезка AC (5; 4) в точности совпадают с координатами точки M.

Особенность расположения точки M заключается в том, что она является серединой стороны AC.

Ответ: M(5; 4). Точка M является серединой стороны AC.

в) Проведи луч BM. Проверь с помощью транспортира, является ли он биссектрисой угла B. Что интересного в расположении луча BM и отрезка AC?

1. Соединим точки B(3; 8) и M(5; 4), чтобы провести луч BM.

2. Чтобы проверить, является ли BM биссектрисой угла B, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника. Мы установили, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, а точка M — середина этого основания. Отрезок BM, соединяющий вершину B с серединой основания AC, является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Следовательно, BM — биссектриса угла B.
Угол B равен $90^\circ$, значит, биссектриса BM делит его на два равных угла по $45^\circ$ каждый: $\angle ABM = \angle CBM = 45^\circ$. Проверка с помощью транспортира это подтвердит.

3. Интересное в расположении луча BM и отрезка AC. Так как BM в равнобедренном треугольнике ABC является не только медианой и биссектрисой, но и высотой, то луч BM должен быть перпендикулярен отрезку AC. Проверим это, сравнив угловые коэффициенты прямых BM и AC.
Угловой коэффициент AC мы уже нашли: $k_{AC} = \frac{1}{2}$.
Найдем угловой коэффициент BM, используя точки B(3; 8) и M(5; 4): $k_{BM} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{4-8}{5-3} = \frac{-4}{2} = -2$.
Произведение угловых коэффициентов: $k_{AC} \cdot k_{BM} = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$. Если произведение угловых коэффициентов двух прямых равно -1, то эти прямые перпендикулярны.

Таким образом, интересная особенность заключается в том, что луч BM перпендикулярен отрезку AC.

Ответ: Да, луч BM является биссектрисой угла B. Луч BM перпендикулярен отрезку AC.