Номер 5, страница 59, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 15. Построение точек по их координатам. Часть 3 - номер 5, страница 59.

Условие.

5 Построй в тетради координатный угол и выполни предыдущее задание для точек $A (1;1)$, $B (8;2)$ и $C (9;9)$. Выведи гипотезы из проведённого исследования. Докажи, что в п. в) наблюдаемая закономерность не выполняется для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

Решение.

Решение 2.

Выполнение задания для точек A(1;1), B(8;2) и C(9;9) и выведение гипотез из проведённого исследования

Построим треугольник ABC по заданным координатам вершин A(1;1), B(8;2) и C(9;9) и проведём его исследование.

1. Найдём квадраты длин сторон треугольника.
Для двух точек с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ квадрат расстояния между ними равен $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.
$AB^2 = (8-1)^2 + (2-1)^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50$.
$BC^2 = (9-8)^2 + (9-2)^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50$.
$AC^2 = (9-1)^2 + (9-1)^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.

2. Проверим, является ли треугольник прямоугольным.
Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным, если сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны.
Проверим все возможные комбинации:
$AB^2 + BC^2 = 50 + 50 = 100$. Это не равно $AC^2 = 128$.
$AB^2 + AC^2 = 50 + 128 = 178$. Это не равно $BC^2 = 50$.
$BC^2 + AC^2 = 50 + 128 = 178$. Это не равно $AB^2 = 50$.
Следовательно, треугольник ABC не является прямоугольным.

3. Найдём площадь треугольника ABC (пункт в).
Воспользуемся формулой площади треугольника по координатам его вершин:$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$.
$S = \frac{1}{2} |(1(2 - 9) + 8(9 - 1) + 9(1 - 2))| = \frac{1}{2} |(1(-7) + 8(8) + 9(-1))| = \frac{1}{2} |-7 + 64 - 9| = \frac{1}{2} |48| = 24$.
Площадь треугольника равна 24 кв. ед.

4. Выдвинем гипотезы на основе исследования.
Гипотеза 1: Так как $AB^2 = BC^2 = 50$, то стороны $AB$ и $BC$ равны. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.
Гипотеза 2 (наблюдаемая закономерность): Проанализируем координаты вершин A(1;1), B(8;2) и C(9;9). Найдем сумму координат для каждой вершины:
Для A(1;1): $1+1=2$ (чётное число).
Для B(8;2): $8+2=10$ (чётное число).
Для C(9;9): $9+9=18$ (чётное число).
Можно выдвинуть гипотезу, что для всех вершин данного треугольника сумма координат является чётным числом. Это и есть наблюдаемая закономерность. (Это эквивалентно тому, что обе координаты каждой вершины имеют одинаковую чётность).

Ответ: В результате исследования треугольника ABC установлено, что он является равнобедренным ($AB = BC = \sqrt{50}$), непрямоугольным, его площадь равна 24. Выдвинуты гипотезы: 1) треугольник является равнобедренным; 2) для каждой вершины $(x; y)$ треугольника сумма координат $x+y$ является чётным числом.

Докажи, что в п. в) наблюдаемая закономерность не выполняется для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см

Наблюдаемая закономерность заключается в том, что для каждой вершины $(x; y)$ треугольника сумма её координат $x+y$ является чётным числом. Нам нужно доказать, что эта закономерность не выполняется для прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12.

Чтобы исследовать такой треугольник в системе координат, его вершины должны иметь целочисленные координаты. Пусть $V_1(x_1, y_1)$ — вершина с прямым углом, а $V_2(x_2, y_2)$ и $V_3(x_3, y_3)$ — две другие вершины.
Векторы, образующие катеты, это $\vec{a} = \vec{V_1V_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1)$ и $\vec{b} = \vec{V_1V_3} = (x_3-x_1, y_3-y_1)$. Их компоненты должны быть целыми числами.
Длины этих векторов должны быть 5 и 12:
$|\vec{a}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = 5 \implies (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 = 25$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2} = 12 \implies (x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2 = 144$.
Так как катеты перпендикулярны, скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_2-x_1)(x_3-x_1) + (y_2-y_1)(y_3-y_1) = 0$.

Единственные целочисленные решения для компонент векторов (с точностью до знака и порядка) — это разложения чисел 25 и 144 на сумму двух квадратов:Для длины 5: $3^2+4^2=25$ или $5^2+0^2=25$.Для длины 12: $12^2+0^2=144$.Чтобы скалярное произведение было равно нулю, векторы должны быть перпендикулярны. Если компоненты векторов $(a_x, a_y)$ и $(b_x, b_y)$, то $a_x b_x + a_y b_y = 0$. Это условие выполняется, если один вектор имеет вид $(k, 0)$, а другой $(0, m)$.

Выберем, без ограничения общности, компоненты векторов катетов: $\vec{a} = (5, 0)$ и $\vec{b} = (0, 12)$.
Пусть вершина прямого угла $V_1$ имеет координаты $(x_1, y_1)$.
Тогда координаты других вершин:$V_2 = (x_1+5, y_1)$$V_3 = (x_1, y_1+12)$

Теперь проверим, может ли для всех трёх вершин выполняться закономерность (сумма координат чётна).
Допустим, что закономерность выполняется. Тогда для вершины $V_1$ сумма координат $x_1+y_1$ должна быть чётным числом.
Проверим сумму координат для вершины $V_2$:Сумма = $(x_1+5) + y_1 = (x_1+y_1) + 5$.
Так как $(x_1+y_1)$ — чётное число, а 5 — нечётное, их сумма будет нечётной: (чётное) + (нечётное) = (нечётное).
Таким образом, сумма координат для вершины $V_2$ является нечётным числом. Это противоречит нашему допущению, что сумма координат для всех вершин должна быть чётной.

Следовательно, невозможно разместить прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 на целочисленной координатной сетке так, чтобы для всех его вершин сумма координат была чётным числом. Закономерность, наблюдаемая для треугольника ABC, не выполняется.

Ответ: Доказано, что для прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12 см невозможно, чтобы у всех трёх вершин сумма координат была чётным числом, следовательно, наблюдаемая закономерность для него не выполняется.