номер 895, страница 124, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

895. Начертите окружность и постройте два ее радиуса так, чтобы угол между ними был равен:

1) $180^\circ$;

2) $90^\circ$;

3) $45^\circ$;

4) $135^\circ$.

Для выполнения задания необходимо начертить окружность и построить два ее радиуса, образующих заданный угол. Потребуются циркуль, линейка и, для более простого способа, транспортир.

Общий план действий:

1. Отметим на листе бумаги точку o — будущий центр окружности.
2. С помощью циркуля начертим окружность с центром в точке o произвольного радиуса.
3. Проведем один радиус — отрезок, соединяющий центр°C любой точкой на окружности. Обозначим его OA.

Далее для каждого случая построим второй радиус под нужным углом к первому.

1) 180o

Угол в $180^\circ$ — это развернутый угол. Радиусы, образующие такой угол, лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны от центра.

1. Возьмем построенную окружность с центром o и радиусом OA.
2. С помощью линейки продолжим радиус OA через центр o до пересечения с окружностью с противоположной стороны.
3. Точку пересечения с окружностью назовем B. Отрезок OB является вторым радиусом.
4. Радиусы OA и OB лежат на одной прямой и вместе образуют диаметр AB. Угол между ними, $\angle AOB$, равен $180^\circ$.

Ответ: Построение выполнено. Второй радиус OB является продолжением первого радиуса OA через центр окружности, вместе они образуют диаметр.

2) 90o

Угол в $90^\circ$ — это прямой угол. Требуется построить два перпендикулярных радиуса.

Простой способ (с транспортиром):

1. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с центром окружности O, а его нулевая отметка на шкале — с лучом OA.
2. Найдем на шкале транспортира отметку $90^\circ$ и поставим рядом с ней точку C' на бумаге.
3. Проведем луч OC' из центра O. Точку пересечения этого луча с окружностью назовем C.
4. Отрезок OC — это второй радиус. Угол $\angle AOC$ равен $90^\circ$.

Классический способ (циркулем и линейкой):

1. Проведем прямую через радиус OA.
2. Установим острие циркуля в точку o и проведем небольшую дугу, которая пересечет прямую по обе стороны от O. Назовем точки пересечения P и Q.
3. Из точек P и Q, как из центров, проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем OP) так, чтобы они пересеклись в точке C'.
4. Проведем луч OC' из центра O. Этот луч перпендикулярен прямой, на которой лежит радиус OA.
5. Точку пересечения луча OC' с окружностью назовем C. Отрезок OC — искомый радиус, и $\angle AOC = 90^\circ$.

Ответ: Построение выполнено. Радиусы OA и OC взаимно перпендикулярны.

3) 45o

Угол в $45^\circ$ составляет половину прямого угла ($90^\circ / 2$).

Простой способ (с транспортиром):

1. Приложим транспортир к центру O, совместив нулевую отметку с радиусом OA.
2. Найдем на шкале отметку $45^\circ$ и поставим точку D'.
3. Проведем луч OD' и на его пересечении с окружностью отметим точку D.
4. Радиус OD образует с радиусом OA угол $\angle AOD = 45^\circ$.

Классический способ (циркулем и линейкой):

1. Сначала построим радиус OC, перпендикулярный радиусу OA (угол $\angle AOC = 90^\circ$), как описано в пункте 2.
2. Теперь построим биссектрису угла AOC. Для этого из центра o проведем дугу, которая пересечет радиусы OA и OC в точках M и N.
3. Из точек M и N проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись в некоторой точке D' внутри угла.
4. Проведем луч OD'. Точку его пересечения с окружностью назовем D.
5. Луч OD является биссектрисой угла AOC, поэтому $\angle AOD = \angle AOC / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Ответ: Построение выполнено. Угол между радиусами OA и OD равен $45^\circ$.

4) 135o

Угол в $135^\circ$ можно получить, сложив прямой и острый углы: $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$.

Простой способ (с транспортиром):

1. Приложим транспортир к центру O, совместив ноль с радиусом OA.
2. Найдем на шкале отметку $135^\circ$ и поставим точку E'.
3. Проведем луч OE' и на его пересечении с окружностью отметим точку E.
4. Радиус OE образует с радиусом OA угол $\angle AOE = 135^\circ$.

Классический способ (циркулем и линейкой):

1. Продлим радиус OA через центр o до образования диаметра AB.
2. Построим радиус OC, перпендикулярный диаметру AB. Таким образом, у нас есть два прямых угла: $\angle AOC = 90^\circ$ и $\angle BOC = 90^\circ$.
3. Теперь построим биссектрису угла BOC. Это даст нам угол в $45^\circ$, который мы добавим к углу $\angle AOC$.
4. Из центра o проведем дугу, пересекающую лучи OB и OC в точках P и Q.
5. Из точек P и Q проведем две одинаковые дуги, которые пересекутся в точке E'.
6. Проведем луч OE'. Точку его пересечения с окружностью назовем E.
7. Угол $\angle COE$ равен $45^\circ$. Искомый угол $\angle AOE$ является суммой углов $\angle AOC$ и $\angle COE$.
8. $\angle AOE = \angle AOC + \angle COE = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: Построение выполнено. Угол между радиусами OA и OE равен $135^\circ$.