номер 3, страница 18, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. В каких случаях используют двойное неравенство?

Двойное неравенство — это краткая запись системы из двух неравенств, которая используется для описания ситуации, когда некоторая величина или выражение ограничено одновременно с двух сторон (снизу и сверху). Основные случаи использования:

1. Для задания диапазона или интервала

Это наиболее частое применение. Если необходимо указать, что значение переменной x находится между двумя числами a и b, используют двойное неравенство.

Например, запись a < x < b означает, что x строго больше a и одновременно строго меньше b. Геометрически на числовой оси это соответствует открытому интервалу (a; b).

Возможны различные комбинации строгих и нестрогих знаков:

• a ≤ x ≤ b — x находится в отрезке [a; b], включая концы.
• a < x ≤ b — x находится в полуинтервале (a; b].
• a ≤ x < b — x находится в полуинтервале [a; b).

Пример: Запись "скорость автомобиля v была не менее 60 км/ч, но не более 90 км/ч" можно компактно выразить как 60 ≤ v ≤ 90.

Ответ: Двойное неравенство используется для компактного описания числового промежутка (отрезка, интервала, полуинтервала), в котором находится значение переменной.

2. Для решения систем линейных неравенств

Двойное неравенство является, по сути, системой двух неравенств. Например, a < f(x) < b эквивалентно системе

\[ \begin{cases} f(x) > a, \\ f(x) < b \end{cases} \]

Решать такое двойное неравенство часто удобнее, выполняя одни и те же преобразования со всеми тремя его частями.

Пример: Решить неравенство 5 < 2x - 1 < 11.

1. Прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от -1 в центре:

5 + 1 < 2x - 1 + 1 < 11 + 1

6 < 2x < 12

2. Разделим все части неравенства на 2:

\[ \frac{6}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{12}{2} \]

3 < x < 6

Решением является интервал (3; 6).

Ответ: Двойные неравенства используют для более удобного и наглядного решения систем неравенств вида

\[ \begin{cases} f(x) > a, \\ f(x) < b \end{cases} \]

3. В практических и прикладных задачах

В науке, технике и быту многие параметры должны находиться в определенных границах (допусках).

• Стандарты качества: Длина детали должна быть 15 см с допуском ±0.1 см. Это означает, что ее длина L должна удовлетворять условию 14.9 ≤ L ≤ 15.1.
• Медицина: Нормальный уровень сахара в крови натощак у взрослого человека находится в диапазоне от 3.9 до 5.5 ммоль/л. Если S — уровень сахара, то 3.9 ≤ S ≤ 5.5.
• Погодные условия: Прогноз температуры T на завтра: от -5°C до +2°C. Запись: -5 ≤ T ≤ 2.

Ответ: В реальной жизни двойные неравенства используются для задания допустимых диапазонов значений различных величин, например, допусков при производстве, медицинских норм, погодных условий.

4. Для оценки значений выражений

В математическом анализе и при решении олимпиадных задач часто требуется не найти точное значение, а оценить, в каких границах оно лежит.

Пример: Известно, что 2 < a < 3 и 4 < b < 5. Нужно оценить значение выражения a + b.

Складывая неравенства почленно, получаем:

2 + 4 < a + b < 3 + 5

6 < a + b < 8

Таким образом, мы оценили сумму, не зная точных значений a и b. Двойные неравенства являются основой для таких методов, как, например, "теорема о двух милиционерах" (теорема о сжатой функции).

Ответ: Двойные неравенства применяются в высшей математике и сложных задачах для оценки (нахождения границ) значений функций и выражений.