Вопрос, страница 141, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Можно ли, разрезав квадрат по его диагоналям, из всех его частей сложить:

1) прямоугольник, у которого длина и ширина разной длины;

2) треугольник?

1) Да, из частей квадрата, полученных после его разрезания по диагоналям, можно сложить прямоугольник, у которого длина и ширина имеют разную длину.

Пусть сторона исходного квадрата равна $\text{a}$. При разрезании квадрата по его двум диагоналям мы получаем четыре одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника. У каждого такого треугольника гипотенуза равна стороне квадрата $\text{a}$, а каждый из двух катетов равен половине длины диагонали. Длина диагонали квадрата составляет $a\sqrt{2}$, следовательно, длина катетов равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Дальнейшие действия для сборки прямоугольника:

Шаг 1: Возьмем два из четырех треугольников и соединим их по их гипотенузам. Так как гипотенузы равны, они идеально совместятся. В результате получится новый, меньший квадрат. Сторона этого нового квадрата будет равна катету исходных треугольников, то есть $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Повторим Шаг 1 с двумя оставшимися треугольниками. Мы получим второй точно такой же квадрат со стороной $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 3: Теперь у нас есть два одинаковых квадрата. Если мы приложим их друг к другу вплотную по одной из сторон, мы образуем прямоугольник.

Размеры полученного прямоугольника будут следующими: ширина будет равна стороне малого квадрата, то есть $W = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, а длина будет равна удвоенной стороне малого квадрата, $L = 2 \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$.

Поскольку $a\sqrt{2} \neq \frac{a\sqrt{2}}{2}$, мы получили прямоугольник, у которого длина и ширина разной длины. Площадь этого прямоугольника равна $L \times W = a\sqrt{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2 \cdot 2}{2} = a^2$, что соответствует площади исходного квадрата.

Ответ: Да, можно.

2) Да, из этих четырех частей также можно сложить треугольник.

Мы используем те же четыре равнобедренных прямоугольных треугольника со сторонами (катетами) $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ и гипотенузой $\text{a}$.

Шаг 1: Возьмем два малых треугольника и соединим их по одному из равных катетов. В результате получится один большой равнобедренный прямоугольный треугольник. Его катеты будут равны гипотенузам малых треугольников (то есть $\text{a}$), а его собственная гипотенуза будет равна сумме двух других катетов малых треугольников, то есть $\frac{a\sqrt{2}}{2} + \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$.

Шаг 2: Повторим Шаг 1 с двумя оставшимися малыми треугольниками, чтобы получить второй точно такой же большой равнобедренный прямоугольный треугольник (с катетами $\text{a}$ и гипотенузой $a\sqrt{2}$).

Шаг 3: Теперь у нас есть два больших одинаковых треугольника. Соединим их по одному из их катетов (стороне длиной $\text{a}$). Расположим их так, чтобы их прямые углы (по $90^\circ$) были смежными, а другие катеты (также длиной $\text{a}$) легли на одну прямую, образуя основание новой фигуры.

В результате мы получим один большой равнобедренный треугольник. Две его боковые стороны будут равны гипотенузам больших треугольников (то есть $a\sqrt{2}$), а его основание будет состоять из двух катетов и будет равно $a + a = 2a$.

Убедимся, что все части использованы, и площадь сохранена. Площадь полученного треугольника вычисляется по формуле $\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$. В нашем случае основание равно $2a$, а высота (катет большого треугольника) равна $\text{a}$. Площадь составляет $\frac{1}{2} \times (2a) \times a = a^2$, что равно площади исходного квадрата.

Ответ: Да, можно.