номер 933, страница 143, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

933. Объясните, почему площади прямоугольников $ABCO$ и $ODFE$ (рис. 115) равны.

Рис. 115

Рассмотрим большой прямоугольник, который включает в себя все изображенные фигуры. Обозначим его вершины как A (левый верхний угол), M (правый верхний), E (правый нижний) и K (левый нижний). Диагональ KM делит этот большой прямоугольник AMEK на два треугольника с равными площадями: $\triangle AKM$ и $\triangle KEM$.

Площадь треугольника $\triangle AKM$ (часть большого прямоугольника над диагональю) можно представить как сумму площадей прямоугольника ABCO, треугольника $\triangle CKO$ и треугольника $\triangle BOM$. $S_{\triangle AKM} = S_{ABCO} + S_{\triangle CKO} + S_{\triangle BOM}$

Площадь треугольника $\triangle KEM$ (часть большого прямоугольника под диагональю) можно представить как сумму площадей прямоугольника ODFE, треугольника $\triangle KDO$ и треугольника $\triangle OFM$. $S_{\triangle KEM} = S_{ODFE} + S_{\triangle KDO} + S_{\triangle OFM}$

Поскольку $S_{\triangle AKM} = S_{\triangle KEM}$, мы можем приравнять правые части этих выражений: $S_{ABCO} + S_{\triangle CKO} + S_{\triangle BOM} = S_{ODFE} + S_{\triangle KDO} + S_{\triangle OFM}$

Теперь рассмотрим малые прямоугольники, образованные вокруг точки O.

Фигура CKOD является прямоугольником. Отрезок Ko — его диагональ. Диагональ делит прямоугольник на два треугольника равной площади. Следовательно, $S_{\triangle CKO} = S_{\triangle KDO}$.

Аналогично, фигура BOFM является прямоугольником. Отрезок OM — его диагональ, которая также делит его на два треугольника равной площади. Следовательно, $S_{\triangle BOM} = S_{\triangle OFM}$.

Подставим эти равенства в уравнение, полученное ранее: $S_{ABCO} + S_{\triangle CKO} + S_{\triangle BOM} = S_{ODFE} + S_{\triangle CKO} + S_{\triangle BOM}$

Вычитая из обеих частей равенства $S_{\triangle CKO}$ и $S_{\triangle BOM}$, получаем: $S_{ABCO} = S_{ODFE}$

Это доказывает, что площади прямоугольников ABCo и ODFE равны.

Ответ: Площади прямоугольников ABCo и ODFE равны. Это следует из того, что диагональ большого прямоугольника делит его на два равновеликих треугольника. Каждый из этих треугольников состоит из одного из искомых прямоугольников (ABCo или ODFE) и двух малых треугольников ( $\triangle CKO$, $\triangle BOM$ и $\triangle KDO$, $\triangle OFM$ соответственно). Площади малых треугольников попарно равны, так как они получены делением малых прямоугольников (CKOD и BOFM) их диагоналями. Вычитая из равных площадей больших треугольников равные площади пар малых треугольников, мы получаем, что оставшиеся площади (площади прямоугольников ABCo и ODFE) также равны.