номер 3, страница 46, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Что означает "выявить закономерность, по которой составлена последовательность из натуральных чисел"?

Фраза "выявить закономерность, по которой составлена последовательность из натуральных чисел" означает найти общее правило, принцип или формулу, которая описывает, как создаются элементы этой последовательности. Последовательность — это упорядоченный набор чисел, где у каждого числа есть свой порядковый номер. Найти закономерность — значит понять "рецепт" этой последовательности, чтобы можно было не только объяснить, почему даны именно такие числа, но и предсказать, какие числа будут стоять в ней дальше.

Этот процесс можно разбить на несколько ключевых задач:

• Анализ предоставленных членов последовательности: Изучение начальных элементов последовательности ($a_1, a_2, a_3, \ldots$), чтобы найти связь между ними. Например, можно проверять разность или отношение соседних членов.
• Формулирование гипотезы: На основе анализа выдвигается предположение о правиле, по которому строится последовательность. Это правило может быть выражено несколькими способами.
• Проверка гипотезы: Предполагаемое правило проверяется на всех известных членах последовательности. Если оно работает, можно считать, что закономерность найдена.

Существует несколько основных способов задания закономерности (правила):

1. Аналитический способ (формула n-го члена)

Это самый универсальный способ, при котором указывается формула, позволяющая вычислить любой член последовательности $a_n$ по его порядковому номеру $\text{n}$. Формула имеет вид $a_n = f(n)$.

Пример: Дана последовательность 3, 5, 7, 9, ...

Можно заметить, что каждый член на 2 больше предыдущего (арифметическая прогрессия). Также можно выразить каждый член через его номер:

$a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

$a_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

$a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Выявленная закономерность — это формула n-го члена $a_n = 2n + 1$. С ее помощью можно найти любой член, например, сотый: $a_{100} = 2 \cdot 100 + 1 = 201$.

2. Рекуррентный способ

При этом способе указывается правило, которое позволяет вычислить член последовательности с номером $n+1$ (или $n+k$), используя предыдущие члены ($a_n$, $a_{n-1}$ и т.д.). Также обязательно задаются один или несколько первых членов последовательности.

Пример: Последовательность Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Закономерность здесь в том, что каждый следующий член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

Правило задается рекуррентно: $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, и $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ для всех $n \ge 1$.

Выявить эту закономерность — значит найти эту рекуррентную формулу.

3. Словесный способ

Правило описывается словами. Этот способ часто встречается в логических задачах, а не в строгой математике, но по сути является отправной точкой для поиска формулы.

Пример: "Последовательность простых чисел".

Последовательность: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Выявить закономерность здесь — значит понять, что все члены последовательности являются простыми числами, упорядоченными по возрастанию. Хотя для этой последовательности нет простой аналитической формулы, закономерность (описание правила) вполне ясна.

Таким образом, "выявить закономерность" — это интеллектуальная задача по поиску скрытой структуры в наборе чисел, результатом которой является формулировка точного и однозначного правила, порождающего эту последовательность.

Ответ: Выявить закономерность, по которой составлена последовательность из натуральных чисел, — это значит найти и сформулировать точное правило (чаще всего в виде математической формулы), которое объясняет, как образуется каждый член последовательности, и позволяет однозначно определить любой ее член, зная его порядковый номер, или вычислить его на основе предыдущих членов.