Номер 1025, страница 246 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1025. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы деление было выполнено верно:

1) $\begin{array}{r l}\text{} & \text{2**} \\\cline{2-2}\text{\_**,***} & \multicolumn{1}{|l}{\text{*,**9}} \\- \underline{\text{2**}} & \\\text{**} & \\- \underline{\text{58}} & \\\text{0} & \\\end{array}$

2) $\begin{array}{r l}\text{} & \text{7**} \\\cline{2-2}\text{\_*,**5} & \multicolumn{1}{|l}{\text{39}} \\- \underline{\text{7**}} & \\\text{***} & \\- \underline{\text{***}} & \\\text{0} & \\\end{array}$

3) $\begin{array}{r l}\text{} & \text{2**} \\\cline{2-2}\text{\_*,**1} & \multicolumn{1}{|l}{\text{*9}} \\- \underline{\text{**}} & \\\text{***} & \\- \underline{\text{***}} & \\\text{0} & \\\end{array}$

1)

Для решения данной задачи восстановим ход деления по известным цифрам. Обозначим делимое как $ABCD$, делитель как $E9$, а частное как $F,1G$. Судя по структуре, деление выполняется столбиком, и частное - это трехзначное число $F1G$.

Рассмотрим последний шаг вычитания:
_**
58
---
0
Это означает, что из некоторого числа вычли 58 и получили 0. Следовательно, это число равно 58. Таким образом, последнее действие в делении - это вычитание $58 - 58 = 0$.

Число 58, которое вычитают, является произведением последней цифры частного ($G$) и делителя ($E9$).
$G \times (E9) = 58$.
Перебирая возможные значения для $E$ (от 1 до 9), находим, что единственное подходящее двузначное число, оканчивающееся на 9, которое при умножении на целую цифру дает 58, это 29.
$2 \times 29 = 58$.
Отсюда следует, что делитель равен 29, а последняя цифра частного $G=2$.

Теперь мы знаем, что делитель - 29, а частное - $F12$.
Число 58, из которого вычитали, получилось после спуска последней цифры делимого. В условии последняя цифра делимого - 9. Если бы мы ее спустили, то число должно было бы оканчиваться на 9, а у нас 58. Это противоречие.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и последняя цифра делимого не 9, а 8. Примем это предположение и продолжим решение. Если делимое оканчивается на 8, то на последнем шаге мы спускаем 8 и получаем число 58.

Восстановим деление с конца:
1. Последнее вычитание: $58 - 58 = 0$. Это число 58 получилось из остатка от предыдущего деления ($R_2$) и последней цифры делимого (которую мы считаем равной 8). Значит, $R_2 = 5$.
2. Второе вычитание: из числа $R_1C$ (остаток от первого деления и третья цифра делимого) вычитается $S_2$ и получается остаток $R_2 = 5$. $S_2$ - это произведение второй цифры частного (1) на делитель (29). $S_2 = 1 \times 29 = 29$.
Значит, $R_1C - 29 = 5$, откуда $R_1C = 34$. Таким образом, третья цифра делимого $C=4$, а остаток от первого деления $R_1 = 3$.
3. Первое вычитание: из первых двух цифр делимого $AB$ вычитается $S_1$, и получается остаток $R_1 = 3$. $S_1$ - это произведение первой цифры частного ($F$) на делитель (29).
В условии указано, что первое вычитаемое число - это $2*$. Значит $S_1 = 2*$. Единственное произведение $F \times 29$, которое начинается на 2, это $1 \times 29 = 29$.
Следовательно, первая цифра частного $F=1$, а $S_1 = 29$.
$AB - 29 = 3$, откуда $AB = 32$.

Собираем все найденные цифры:
Делимое: 3248 (вместо 3249).
Делитель: 29.
Частное: 112.

Проверка:
_3248 | 29
29 | 112
---
_34
29
--
_58
58
--
0

Ответ: Пример должен выглядеть так (с исправленной последней цифрой делимого): $3248 \div 29 = 112$.

2)

В этом примере известен делитель - 39. Делимое - четырехзначное число вида $D_1D_25D_4$. Частное - трехзначное число $Q_1Q_2Q_3$.

1. Первое действие: из первых двух цифр делимого $D_1D_2$ вычитается $S_1=Q_1 \times 39$. Результат в условии обозначен как $7*$.
Найдем $Q_1$: $1 \times 39 = 39$, $2 \times 39 = 78$, $3 \times 39 = 117$.
Поскольку $S_1$ начинается с 7, то $Q_1=2$ и $S_1=78$.
$D_1D_2 - 78 = R_1$, где $R_1$ - остаток ($R_1 < 39$).

2. Последнее действие: к остатку $R_2$ спускается последняя цифра делимого $D_4$, образуя число $R_2D_4$. Из этого числа вычитается $S_3 = Q_3 \times 39$, и получается остаток 0.
Следовательно, $R_2D_4 = Q_3 \times 39$.

3. Второе действие: к остатку $R_1$ спускается третья цифра делимого (5), образуя число $R_15$. Из него вычитается $S_2 = Q_2 \times 39$, и получается остаток $R_2$.
$R_15 - Q_2 \times 39 = R_2$.

Теперь объединим шаги 2 и 3, чтобы найти неизвестные. У нас есть 9 возможных вариантов для $R_2D_4$ (от $1 \times 39$ до $9 \times 39$), так как $R_2$ должен быть меньше 39.
Рассмотрим уравнение для второго шага: $10 \times R_1 + 5 = Q_2 \times 39 + R_2$.
Попробуем возможные варианты для $R_2$ из таблицы умножения на 39.
- Если $R_2D_4 = 39$, то $R_2=3$. Уравнение: $10 \times R_1 + 5 = Q_2 \times 39 + 3 \Rightarrow 10 \times R_1 + 2 = Q_2 \times 39$. Чтобы произведение $Q_2 \times 39$ оканчивалось на 2, $Q_2$ должно быть 8 ($8 \times 9 = 72$). Тогда $Q_2 \times 39 = 8 \times 39 = 312$. $10 \times R_1 + 2 = 312 \Rightarrow R_1 = 31$. Это допустимый остаток ($31<39$). Но тогда из первого шага $D_1D_2 = S_1 + R_1 = 78 + 31 = 109$, что является трехзначным числом. Противоречие.
- Если $R_2D_4 = 78$, то $R_2=7$. Уравнение: $10 \times R_1 + 5 = Q_2 \times 39 + 7 \Rightarrow 10 \times R_1 - 2 = Q_2 \times 39$. Чтобы произведение $Q_2 \times 39$ оканчивалось на 8, $Q_2$ должно быть 2 ($2 \times 9 = 18$). Тогда $Q_2 \times 39 = 2 \times 39 = 78$. $10 \times R_1 - 2 = 78 \Rightarrow R_1 = 8$. Это допустимый остаток ($8<39$). Из первого шага $D_1D_2 = S_1 + R_1 = 78 + 8 = 86$. Это двузначное число. Этот вариант подходит.

Соберем решение:
$Q_1=2$, $S_1=78$. $D_1D_2=86$. $R_1=8$.
Спускаем 5, получаем 85.
$Q_2=2$, $S_2 = 2 \times 39 = 78$. $85-78 = 7$. $R_2=7$.
Спускаем $D_4$. На последнем шаге $R_2D_4 = 7D_4$. Мы исходили из того, что $R_2D_4=78$, значит $D_4=8$.
$Q_3 \times 39 = 78 \Rightarrow Q_3=2$.

Итого:
Делимое: 8658.
Делитель: 39.
Частное: 222.

Проверка:
_8658 | 39
78 | 222
---
_85
78
--
_78
78
--
0

Ответ: $8658 \div 39 = 222$.

3)

Делимое - четырехзначное число вида $D_1D_2D_31$. Делитель - двузначное число $d9$. Частное - трехзначное $Q_1Q_2Q_3$.

1. Из последнего шага деления следует, что $R_21 - S_3 = 0$, где $R_2$ - остаток от предыдущего деления. Значит, $R_21 = S_3$.
$S_3 = Q_3 \times d9$. Произведение $Q_3 \times d9$ должно оканчиваться на 1. Поскольку $d9$ оканчивается на 9, $Q_3$ должно быть 9 ($9 \times 9 = 81$). Итак, $Q_3=9$.

2. Из первого шага деления $D_1D_2 - S_1 = R_1$. Известно, что $S_1 = 2*$. $S_1 = Q_1 \times d9$.
Переберем возможные $d9$. $d9$ может быть 19, 29, 39, ...
- Если $d9=19$, то $Q_1 \times 19$ не может быть в диапазоне [20, 29].
- Если $d9=29$, то при $Q_1=1$, $S_1 = 1 \times 29 = 29$. Это подходит под маску $2*$.
- Если $d9 \ge 39$, то $Q_1 \times d9$ будет больше 29.
Следовательно, делитель $d9=29$, а первая цифра частного $Q_1=1$.

3. Теперь мы можем определить $S_3$ и $R_2$.
$S_3 = Q_3 \times d9 = 9 \times 29 = 261$.
Так как $R_21 = S_3$, то $R_21 = 261$. Это означает, что остаток от второго деления $R_2=26$. Это допустимый остаток, так как $26 < 29$.
Замечание: в условии промежуточные делимые и вычитаемые обозначены двумя звездочками (**), что подразумевает двузначные числа. Наши вычисления для $R_21$ и $S_3$ дают трехзначное число 261. Вероятно, количество звездочек в условии не является строгим ограничением на число знаков.

4. Рассмотрим второй шаг: $R_1D_3 - S_2 = R_2 = 26$.
$S_2 = Q_2 \times 29$.
$R_1D_3 = Q_2 \times 29 + 26$.
Из условия, $S_2$ и $R_1D_3$ обозначены как `**`, т.е. двузначные числа.
$10 \le S_2 \le 99 \Rightarrow 10 \le Q_2 \times 29 \le 99 \Rightarrow 0.34 \le Q_2 \le 3.41$. Значит, $Q_2$ может быть 1, 2 или 3.
$10 \le R_1D_3 \le 99 \Rightarrow 10 \le Q_2 \times 29 + 26 \le 99 \Rightarrow -16 \le Q_2 \times 29 \le 73 \Rightarrow Q_2 \le 2.51$. Значит, $Q_2$ может быть 1 или 2.

Получается, что задача имеет два возможных решения:
Случай A: $Q_2=1$.
$S_2 = 1 \times 29 = 29$.
$R_1D_3 = 29 + 26 = 55$. Отсюда $R_1=5$ и $D_3=5$.
Из первого шага: $D_1D_2 - S_1 = R_1 \Rightarrow D_1D_2 - 29 = 5 \Rightarrow D_1D_2 = 34$.
Делимое: 3451. Частное: 119.
Проверка: $3451 \div 29 = 119$.
_3451 | 29
29 | 119
---
_55
29
--
_261
261
---
0

Случай Б: $Q_2=2$.
$S_2 = 2 \times 29 = 58$.
$R_1D_3 = 58 + 26 = 84$. Отсюда $R_1=8$ и $D_3=4$.
Из первого шага: $D_1D_2 - 29 = 8 \Rightarrow D_1D_2 = 37$.
Делимое: 3741. Частное: 129.
Проверка: $3741 \div 29 = 129$.
_3741 | 29
29 | 129
---
_84
58
--
_261
261
---
0

Ответ: У задачи два возможных решения: $3451 \div 29 = 119$ или $3741 \div 29 = 129$.