Номер 5.111, страница 23, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

27. Сравнение дробей. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.111, страница 23.

5.111 Муравей бежит по куску дерева, имеющему форму куба. Как ему попасть из какой-либо вершины куба в противоположную (рис. 5.33) кратчайшим путём? Сколько таких путей существует?

Как ему попасть из какой-либо вершины куба в противоположную кратчайшим путём?

Чтобы найти кратчайший путь по поверхности куба, необходимо представить его развёртку на плоскости. Кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости — это прямая линия.

Пусть муравей стартует из вершины M и должен добраться до противоположной вершины N. Его путь должен пройти по поверхности как минимум двух смежных граней. Если мы развернём эти две грани в одну плоскость, они образуют прямоугольник. Пусть ребро куба равно $a$, тогда стороны этого прямоугольника будут равны $a$ и $2a$. Вершины M и N окажутся в противоположных углах этого прямоугольника.

Кратчайший путь на этой развёртке — это диагональ получившегося прямоугольника. Её длину $L$ можно вычислить по теореме Пифагора:

$L = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Таким образом, чтобы попасть в противоположную вершину кратчайшим путём, муравей должен двигаться по такой траектории, которая на развёртке из двух соответствующих граней представляет собой прямую линию.

Ответ: Кратчайший путь – это траектория, которая на развёртке двух смежных граней куба представляет собой прямую линию (диагональ прямоугольника со сторонами $a$ и $2a$). Длина этого пути равна $a\sqrt{5}$, где $a$ – длина ребра куба.

Сколько таких путей существует?

Чтобы определить количество кратчайших путей, нужно посчитать количество способов составить развёртку из двух граней, на которой начальная и конечная точки оказываются на противоположных углах.

Начальная вершина M принадлежит трём граням. Муравей может начать движение по любой из них. С каждой из этих трёх граней граничат по две грани, на которых лежит конечная вершина N (и которые не являются противоположными исходной грани).

Например, если муравей начинает движение по передней грани, то для кратчайшего пути он должен перейти либо на верхнюю грань, либо на правую грань. Каждый из этих двух вариантов соответствует своей паре граней для развёртки и определяет уникальный кратчайший путь.

Поскольку существует 3 грани, с которых можно начать движение от вершины M, и для каждой из них есть 2 варианта продолжения пути, общее количество кратчайших путей равно:

$3 \times 2 = 6$

Все 6 путей имеют одинаковую минимальную длину.

Ответ: Существует 6 таких путей.