Номер 3, страница 41, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Проверьте себя. Проверочная работа. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 3, страница 41.

3 Уменьшится или увеличится дробь, если:

а) к числителю дроби прибавить единицу;

б) к знаменателю дроби прибавить единицу?

а) к числителю дроби прибавить единицу;

Пусть дана произвольная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель ($b \ne 0$).

Если к числителю прибавить единицу, мы получим новую дробь $\frac{a+1}{b}$.

Чтобы понять, как изменилась дробь, найдем разность между новой и исходной дробью:

$\frac{a+1}{b} - \frac{a}{b} = \frac{(a+1) - a}{b} = \frac{1}{b}$

Знак этой разности определяет, увеличилась или уменьшилась дробь. Это, в свою очередь, зависит от знака знаменателя $b$.

• Если знаменатель $b$ — положительное число ($b > 0$), то разность $\frac{1}{b}$ будет положительной. Это означает, что новая дробь больше исходной, то есть дробь увеличится. Например, для дроби $\frac{5}{8}$ новая дробь будет $\frac{5+1}{8} = \frac{6}{8}$, и $\frac{6}{8} > \frac{5}{8}$.
• Если знаменатель $b$ — отрицательное число ($b < 0$), то разность $\frac{1}{b}$ будет отрицательной. Это означает, что новая дробь меньше исходной, то есть дробь уменьшится. Например, для дроби $\frac{5}{-8}$ новая дробь будет $\frac{5+1}{-8} = \frac{6}{-8}$, и $\frac{6}{-8} < \frac{5}{-8}$ (так как $-0.75 < -0.625$).

Обычно в школьном курсе рассматриваются дроби с положительными знаменателями, поэтому в таком контексте дробь всегда увеличивается.

Ответ: Если знаменатель дроби положителен, то дробь увеличится. Если знаменатель отрицателен, дробь уменьшится.

б) к знаменателю дроби прибавить единицу?

Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$ (при условии, что $b \ne 0$ и $b \ne -1$, чтобы новый знаменатель не был равен нулю).

Если к знаменателю прибавить единицу, мы получим новую дробь $\frac{a}{b+1}$.

Сравним новую дробь с исходной, найдя их разность:

$\frac{a}{b+1} - \frac{a}{b}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю $b(b+1)$:

$\frac{a \cdot b}{b(b+1)} - \frac{a \cdot (b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab - a(b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab - ab - a}{b(b+1)} = \frac{-a}{b(b+1)}$

Знак этой разности, а следовательно и результат сравнения, зависит от знаков числителя $a$ и знаменателя $b$.

• Рассмотрим самый частый случай: положительная дробь ($a > 0$ и $b > 0$). В этом случае числитель разности ($-a$) будет отрицательным. Знаменатель разности ($b(b+1)$) будет положительным (как произведение двух положительных чисел). Таким образом, вся разность $\frac{-a}{b(b+1)}$ будет отрицательной. Это значит, что новая дробь меньше исходной, то есть дробь уменьшится. Например, для дроби $\frac{5}{8}$ новая дробь будет $\frac{5}{8+1} = \frac{5}{9}$, и $\frac{5}{9} < \frac{5}{8}$. Интуитивно это можно понять так: мы делим то же количество ($a$) на большее число частей ($b+1$), поэтому каждая часть становится меньше.
• Рассмотрим случай, когда числитель отрицателен, а знаменатель положителен ($a < 0$ и $b > 0$). В этом случае числитель разности ($-a$) будет положительным. Знаменатель разности ($b(b+1)$) также будет положительным. Значит, вся разность будет положительной, и дробь увеличится. Например, для дроби $\frac{-5}{8}$ новая дробь будет $\frac{-5}{8+1} = \frac{-5}{9}$. Поскольку $-0.555... > -0.625$, то $\frac{-5}{9} > \frac{-5}{8}$, и дробь увеличилась.

В других случаях (например, с отрицательным знаменателем) результат также будет зависеть от знаков $a$ и $b$.

Ответ: Если дробь положительная (и числитель, и знаменатель положительны), она уменьшится. Если числитель отрицательный, а знаменатель положительный, дробь увеличится. В общем случае результат зависит от знаков числителя и знаменателя.