номер 1190, страница 120, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1190. Сколько четырехзначных чисел, у которых все цифры разные и вторая цифра 7, можно составить из цифр числа 2647?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколькими способами можно расставить цифры из числа 2647, соблюдая заданные условия.

1. Анализ исходных данных и условий.

- Нам даны цифры из числа 2647, то есть множество цифр $\{2, 6, 4, 7\}$.

- Нужно составить четырехзначное число.

- Условие 1: все цифры в числе должны быть разные. Так как в исходном наборе все цифры уже различны, это условие означает, что мы должны использовать каждую цифру из набора $\{2, 6, 4, 7\}$ ровно один раз.

- Условие 2: вторая цифра числа (в разряде сотен) должна быть 7.

2. Построение числа по позициям.

Представим четырехзначное число в виде четырех позиций: _ _ _ _.

- Вторая позиция (сотни): Согласно условию, на этом месте должна стоять цифра 7. Вариантов для этой позиции только один.

Наше число теперь выглядит так: _ 7 _ _.

- Первая позиция (тысячи): На это место мы можем поставить любую из оставшихся цифр. Изначально у нас были цифры $\{2, 6, 4, 7\}$. Цифру 7 мы уже использовали. Остались цифры $\{2, 6, 4\}$. Любая из них может стоять на первом месте, так как ни одна из них не 0. Таким образом, для первой позиции у нас есть 3 варианта выбора.

- Третья позиция (десятки): Мы уже использовали две цифры (7 и одну из $\{2, 6, 4\}$). Значит, для третьей позиции у нас осталось $4 - 2 = 2$ доступные цифры. Таким образом, для третьей позиции есть 2 варианта выбора.

- Четвертая позиция (единицы): Мы использовали три цифры. Осталась только одна последняя цифра. Таким образом, для четвертой позиции есть 1 вариант выбора.

3. Расчет общего количества комбинаций.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно правилу произведения в комбинаторике):

Количество чисел = (варианты для 1-й позиции) × (варианты для 2-й позиции) × (варианты для 3-й позиции) × (варианты для 4-й позиции)

Количество чисел = $3 \times 1 \times 2 \times 1 = 6$.

Этот же результат можно получить, используя понятие перестановок. После того как мы зафиксировали цифру 7 на второй позиции, нам нужно расположить оставшиеся 3 цифры $(\{2, 6, 4\})$ на 3 оставшихся местах (первом, третьем и четвертом). Число способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов, то есть $P_3 = 3!$.

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Таким образом, можно составить 6 различных четырехзначных чисел, удовлетворяющих всем условиям. Вот они: 2746, 2764, 4726, 4762, 6724, 6742.

Ответ: 6