номер 309, страница 73, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Подготовьте сообщение

309. О рациональных числах.

Определение рациональных чисел

Рациональным числом (от лат. ratio — отношение, деление) называется число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $\text{m}$ является целым числом (принадлежит множеству целых чисел $\mathbb{Z}$), а знаменатель $\text{n}$ — натуральным числом (принадлежит множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$).

Формально, множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ определяется так: $\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \,|\, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$.

Например, числа $\frac{2}{3}$, $\frac{-7}{5}$, $\text{8}$, $-0.25$ являются рациональными, так как их можно представить в требуемом виде:

$8 = \frac{8}{1}$ (здесь $m=8, n=1$)

$-0.25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4} = \frac{-1}{4}$ (здесь $m=-1, n=4$)

Ответ: Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $\text{m}$ — целое число, а знаменатель $\text{n}$ — натуральное число.

Множества чисел, входящие в состав рациональных

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ включает в себя другие известные множества чисел:

1. Натуральные числа ($\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$). Любое натуральное число $\text{n}$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$, поэтому все натуральные числа являются рациональными.

2. Целые числа ($\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$). Любое целое число $\text{z}$ можно представить как $\frac{z}{1}$, поэтому все целые числа также являются рациональными.

Таким образом, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел. Это записывается в виде цепочки включений: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

Ответ: Множество рациональных чисел включает в себя множество целых чисел ($\mathbb{Z}$) и, следовательно, множество натуральных чисел ($\mathbb{N}$). Справедливо соотношение: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

Представление рациональных чисел в виде десятичных дробей

Любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби. Такая десятичная дробь будет либо конечной, либо бесконечной периодической.

1. Конечная десятичная дробь. Получается, если при делении числителя на знаменатель в остатке в какой-то момент получается ноль. Например: $\frac{3}{4} = 0.75$; $\frac{1}{8} = 0.125$. Рациональное число представляется в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель его несократимой дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5.

2. Бесконечная периодическая десятичная дробь. Получается, если при делении остатки начинают повторяться, и деление никогда не заканчивается. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках. Например: $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$; $\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8(3)$; $\frac{4}{11} = 0.363636... = 0.(36)$.

Справедливо и обратное утверждение: любая конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой рациональное число. Числа, десятичная запись которых является бесконечной и непериодической (например, $\pi \approx 3.14159...$ или $\sqrt{2} \approx 1.41421...$), называются иррациональными.

Ответ: Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любая такая дробь является представлением некоторого рационального числа.

Свойства рациональных чисел

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ обладает рядом важных свойств:

1. Замкнутость относительно арифметических операций. Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) двух любых рациональных чисел также являются рациональными числами.

Например, для $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{3}$:

$a+b = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \in \mathbb{Q}$

$a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \in \mathbb{Q}$

2. Упорядоченность. Для любых двух рациональных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ выполняется одно и только одно из соотношений: $a < b$, $a > b$ или $a = b$. Это означает, что рациональные числа можно сравнивать между собой и располагать на числовой прямой в определенном порядке.

3. Плотность. Между любыми двумя различными рациональными числами всегда можно найти еще одно (а значит, и бесконечно много) рациональное число. Например, между числами $\text{a}$ и $\text{b}$ всегда находится их среднее арифметическое $\frac{a+b}{2}$, которое тоже является рациональным. Из-за этого свойства говорят, что множество рациональных чисел является плотным на числовой прямой (в отличие от множества целых чисел, которое не является плотным).

Ответ: Рациональные числа замкнуты относительно четырёх арифметических действий (кроме деления на 0), упорядочены и образуют плотное множество (между любыми двумя числами есть третье).